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Question
Quels sont les nombres rationnels positifs $x$ et $y$ qui vérifient l’équation $x^3 + y^3 = 9$ ? Les solutions évidentes sont $x$ = 2, $y$ = 1 et $x$ = 1, $y$ = 2.

Réponse : utiliser la méthode géométrique de Fermat [1]

On cherche des solutions positives ($x$, $y$) à l’équation cubique :

Deux solutions évidentes sont les nombres $A(2,1)$ et $D(1,2)$ car $2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9$ et $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$. L’idée de la méthode géométrique de Fermat est de trouver d’autres solutions rationnelles $(x, y)$ à partir de ces deux points.

• Étape 1 - Tangente en $A$ : la droite $d_{1}$

On commence au point $A(2,1)$. L’équation $x^3 + y^3 = 9$ permet de calculer la pente de la tangente :

Au point $A(2,1)$, on obtient :

La tangente $d_{1}$ a donc pour équation :

Cette droite coupe à nouveau la courbe en un autre point $B$. Mais ce point $B$ a une coordonnée $y$ négative, donc il ne convient pas pour notre recherche de solutions positives.

• Étape 2 - Tangente en $B$ : la droite $d_{2}$

On trace maintenant la tangente $d_{2}$ en ce point $B$. Elle recoupe la courbe en un point $C$, cette fois avec $y\gt 0$ mais $x\lt 0$. Là encore, ce point n’appartient pas à la région où les deux coordonnées sont positives, donc on continue.

• Étape 3 - Droite passant par $B$ et $D$ : la droite $d_{3}$

On relie le point $B$ (issu de la première tangente) au point $D(1,2)$, qui est une autre solution évidente. La droite $d_{3}$ coupe la courbe en un troisième point $E$.

• Étape 4 - Tangente en $E$ : la droite $d_{4}$

Pour continuer la construction, on trace la tangente $d_{4}$ à la courbe en $E$. Cette tangente recoupe la courbe en un point $F$, encore dans le premier quadrant (coordonnées positives). Les coordonnées $(F_{x}, F_{y})$ du point $F$ fournissent ainsi deux nouveaux nombres rationnels positifs satisfaisant $F_{x}^3 + F_{y}^3 = 9$.

Application
Calculs pour retrouver le point F à coordonnées positives à partir de $E$

• Intersection de $d_3$ avec la cubique $E=\left(\frac{919}{438},-\frac{271}{438}\right)$

• Pente de la tangente en $E$ $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^2}{y^2}$

  Donc :

  $a=\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{E}=-\dfrac{\left(\frac{919}{438}\right)^2}{\left(-\frac{271}{438}\right)^2} =-\dfrac{919^2}{271^2}=-\dfrac{844561}{73441}$

• Équation de la tangente $d_4$ en $E$$$$$$y=a\,x+b$

  avec :

  $b=y_{E}-a\,x_{E}=-\frac{271}{438}-\left(-\frac{844561}{73441}\right)\frac{919}{438}$

• Intersections de $d_4$ avec la cubique
  En résolvant le système d’équations ($x^3 + y^3 = 9$, $y=a\,x+b$) par rapport à ($x$, $y$) après avoir substitué $a$ et $b$ par les valeurs ci-dessus, on obtient :

Résultat

Vérification