Équation logistique discrète

Sensibilité aux conditions initiales et chaos
jeudi 27 octobre 2005
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Le modèle STELLA de la courbe logistique - lorsqu’il utilise un temps discret, un biflux et un réservoir normé à 1, est le plus simple des modèles chaotiques que l’on puisse construire. Il correspond alors à l’équation logistique discrète et permet d’illustrer la sensibilité aux conditions initiales ainsi que le chaos déterministe.

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Lorsqu'un flux est connecté à un réservoir, STELLA utilise la relation suivante:

x[t] = x[t - dt] + flux * dt

pour calculer la valeur de la variable x au cours du temps.

flux = dx/dt

Si dt vaut 1 (modèle à temps discret), nous pouvons écrire:

dx = x[t] - x[t - 1]

flux = x[t] - x[t - 1]

En posant f[x] = rx(1 - x), nous obtenons:

flux = rx(1 - x) - x

[Graphics:HTMLFiles/93_1.gif]

Ce modèle permet d'illustrer la sensibilité aux conditions initiales:

[Graphics:HTMLFiles/93_2.gif]

L'évolution de x pour des valeurs initiales infiniment voisines finit par diverger.

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