La machine d’Atwood

Comment traiter le problème lorsque la masse de la poulie et celle du câble ne sont pas négligeables
lundi 9 janvier 2006
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La machine d’Atwood est un dispositif constitué d’une poulie sur laquelle passe un fil aux extrémités duquel sont accrochés deux objets de masses différentes. Traditionnellement, on considère une poulie et un fil sans masse. Nous proposons ici de construire un modèle qui tienne compte de la masse de la poulie et de de celle du fil dans le calcul de l’accélération des objets.

Deux objets de masse $m_1$ et $m_2$, avec $m_1$ > $m_2$, sont attachés aux extrémités d’un câble de masse linéique $\mu$. Celui-ci est enroulé sur un cylindre plein de rayon r et dont la masse totale (câble enroulé compris) vaut $m_{tot}$. Initialement, les deux objets sont immobiles. Le point d’attache de $m_1$ est à une distance $d_1$ de l’axe du cylindre et celui de $m_2$ à une distance $d_2$, avec $d_1$ < $d_2$. On livre le système à lui-même.

Variante de la machine d'Atwood

- Donnez l’expression littérale de l’accélération angulaire en fonction des quantités connues $m_1$, $m_2$, $m_{tot}$, $\mu$, $r$, $d_1$ et $d_2$.
- Construisez un modèle STELLA permettant de simuler le mouvement du système.
- Exprimez la distance entre les points d’attache et l’axe de rotation du cylindre lorsque les deux objets se croisent (lorsque les points d’attache sont à la même hauteur).
- Quel temps s’écoule-t-il entre le moment où le système est livré à lui-même et celui où les deux objets se croisent (lorsque les points d’attache sont à la même hauteur) ?
- Calculez l’accélération angulaire du cylindre, l’accélération linéaire et la vitesse de chaque objet à ce moment là.
- Après combien de temps les objets se croisent-ils si on néglige :

  1. la masse du câble ?
  2. la masse du câble et le moment d’inertie du cylindre ?

- Que doivent valoir les distances $d_1$ et $d_2$ entre les points d’attache et l’axe du cylindre pour que le système soit à l’équilibre ?

Données numériques : $m_1=500$ g, $m_2=250$ g, $\mu=200$ g/m, $r=10$ cm, $m_{tot}=5$ kg, $d_1=1$ m, $d_2=2$ m.