Le saut à l’élastique Oscillateur harmonique amorti
Le logiciel Stella permet de résoudre numériquement des problèmes qui font intervenir des équations différentielles sans qu’il soit nécessaire d’en parler. Le saut à l’élastique par exemple peut être traité en utilisant uniquement la relation fondamentale de la dynamique F=ma.
On souhaite étudier un saut à l’élastique depuis le barrage-voûte hydroélectrique de Contra, haut de 220 m et situé dans le val Verzasca au Tessin. Un homme de masse m saute du haut du barrage. Il est soumis à la force de pesanteur et à une force de frottement proportionnelle à la vitesse Ffrott=-bv. On fixe l’origine z=0 de l’axe orienté vers le bas à la hauteur du tremplin. Une force de rappel Frappel=-k(z-z0)) commence à agir dès que l’élastique est tendu. z0 désigne la position du sauteur lorsque la force de rappel commence à agir.
Après une chute de 5 secondes, l’élastique est tendu et la force de rappel commence à agir. Sachant que le sauteur quitte le tremplin avec une vitesse initiale nulle, calculez :
la vitesse du sauteur après 5 secondes
la longueur de l’élastique au repos
la fréquence de l’oscillation amortie
la hauteur à laquelle se trouve le sauteur une fois à l’arrêt
l’allongement maximal de l’élastique
la distance minimale entre le sauteur et le sol.
Données numériques : g=10 m/s2, m=70 kg, b=14 kg/s et k=70 N/m
- Barrage de Contra des Forces Motrices de Verzasca (TI, Suisse)
Utilisation de Stella
Le logiciel permet de résoudre numériquement le problème et de calculer les réponses avec le modèle suivant :
- Carte du modèle Stella
- Le modèle permet de résoudre numériquement le problème et d’apporter les réponses aux questions posées.
Définition des relations
vitesse(t) = vitesse(t - dt) + (a) * dt
INIT vitesse = 0
INFLOWS:
a = IF TIME < 5 THEN (-b*vitesse)/m+g ELSE (-k*(z-z0)-b*vitesse)/m+g
z(t) = z(t - dt) + (v) * dt
INIT z = 0
INFLOWS:
v = vitesse
b = 14
g = 10
k = 70
m = 70
z0 = 91.97N.B. La valeur de z0 s’obtient en simulant la chute sur une durée de 5 s. La valeur indiquée a été obtenue par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 avec un pas dt=0.1 s.
Pour en savoir plus
Saut à l’élastique : équations différentielles et solutions générales
Voir aussi :
L’oscillateur harmonique
Oscillateur harmonique
Rotation et oscillation
Circuit électrique et oscillateur harmonique
Oscillations
Exercices sur les oscillations harmoniques