Rencontre d’un projectile et d’une cible mobile

Comment exploiter les horaires avec des élèves
samedi 4 mars 2006
par  Pascal Rebetez
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Une cible initialement immobile dont l’abscisse x0c peut être choisie se trouve à une certaine altitude. On souhaite l’atteindre depuis le sol à l’aide d’un projectile dont la position initiale coïncide avec l’origine du système d’axes Oxy. Sous quel angle et à quelle vitesse initiale v0 faut-il lancer ce projectile pour atteindre la cible ?
N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Il est possible de rendre compte de différentes manières du fait que, si la sarbacane vise la position initiale de la cible, le projectile l’atteint, quelle que soit sa vitesse initiale. Le modèle proposé ici permet une approche « expérimentale » de cette situation. L’utilisateur peut simuler le mouvement du projectile et de la cible (qui se rencontrent toujours) et obtenir les horaires des deux mobiles. Une fois qu’il a choisi un angle de tir, une vitesse initiale et éventuellement l’abscisse de la cible, le programme calcule son altitude. La simulation permet alors d’obtenir les horaires de la vitesse et de la position selon Ox et Oy des deux mobiles. Ces horaires peuvent être utilisés pour mettre en évidence les conditions nécessaires à une rencontre et illustrer les liens réciproques qui existent entre position, vitesse et accélération.

Pour atteindre la cible, il faut viser sa position initiale. La vitesse initiale du projectile est indifférente.

Le modèle

Modèle permettant d'obtenir les horaires du projectile et de la cible

Ce modèle permet d’obtenir les horaires du projectile et de la cible.
L’utilisateur peut choisir la vitesse initiale du projectile, l’angle de tir et éventuellement l’abscisse de la cible. Le projectile atteint la cible dans tous les cas.


Exemples d’horaires

N. B. Pour tous les gaphiques qui suivent, l’axe horizontal est l’axe temporel.

Horaires de la position sur Ox du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

L’horaire de la position du projectile (en bleu) sur Ox est une droite passant par l’origine. L’horaire de la position de la cible (en rouge) sur Ox est une constante. Lorsque le projectile et la cible se rencontrent, ils occupent la même position sur Ox.

Les horaires de la position du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge) sur Oy sont des paraboles. Lorsque le projectile et la cible se rencontrent, ils occupent la même position sur Oy.

Horaires des vitesses selon Ox du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

Ce graphique montre que l’accélération des mobiles selon Ox est nulle (pente des droites).

Horaires des vitesses selon Oy du projectile (en bleu) et de la cible (en rouge)

On peut remarquer sur ce graphique que les deux mobiles ont la même accélération (pente des droites).

Utilisation du modèle avec des élèves

Si le projectile atteint la cible, alors xp=xc et yp=yc. Une utilisation possible du modèle avec des élèves pourrait par exemple consister à leur demander de :
- simuler plusieurs tirs en variant les conditions initiales
- vérifier à l’aide des horaires de position du projectile et de la cible qu’il existe bien, pour chaque tir, un t positif tel que :

  • xp(t)=xc(t) et
  • yp(t)=yc(t)

- examiner les aires comprises entre les horaires de la vitesse selon Oy et l’axe temporel pour ce temps t (en comptant positivement l’aire située au-dessus de l’axe et négativement celle située au-dessous).

Vitesse de la cible selon Oy

L’horaire de la vitesse de la cible selon Oy délimite, avec l’axe t, une aire qui correspond à un parcours. Ce graphique permet donc de trouver la position de la cible si on connaît sa position initiale.

Vitesse du projectile selon Oy

L’horaire de la vitesse du projectile selon Oy délimite, avec l’axe t une aire qui donne la position du mobile.

- vérifier que l’aire située entre vyp(t) et l’axe t est égale à la somme algébrique de h et de l’aire située entre vyc(t) et l’axe t.

Equations du modèle


Documents joints

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