Tir vertical d’un ballon de football

Calcul du temps de montée et du temps de descente
samedi 12 novembre 2005
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Si vous filmez le mouvement d’un projectile qui ne subit aucune force de frottement et qui s’effectue près de la surface terrestre, vous pouvez passer le film à l’envers, vous ne remarquerez rien de particulier à part l’inversion du mouvement. Changer t en -t dans les équations ne modifie pas la trajectoire. En revanche, si le mobile subit une force de frottement, cette symétrie est brisée !

Vous lancez verticalement vers le haut à la vitesse initiale v un ballon de football de masse m et de rayon r. Durant son vol, le ballon subit deux forces, son poids et une force de frottement due à l’air qui est toujours opposée à sa vitesse.

- Quelle altitude le ballon atteint-il dans chaque cas ?
- Établissez l’horaire du ballon (position en fonction du temps) :

  1. lorsqu’il ne subit pas de frottement ;
  2. lorsqu’il subit la force de frottement due à l’air.

- Que vaut la durée de l’ascension et de la chute du ballon :

  1. lorsqu’il ne subit pas de frottement ;
  2. lorsqu’il subit la force de frottement due à l’air.

Données numériques :
v=30 m/s, m=300 g, r=15 cm, accélération terrestre g=9.81 m/s^2, masse volumique de l’air rho=1.293 kg/m^3, coefficient de forme du ballon Cx=0.25.

Horaire (position en fonction du temps) d'un ballon de football tiré verticalement vers le haut

Horaire d’un ballon de football tiré verticalement vers le haut. N. B. Ces graphiques ne sont pas des trajectoires ! En rouge : l’horaire du ballon est symétrique lorsqu’il ne subit aucun frottement. Le temps de montée est égal au temps de descente. En bleu, l’horaire est asymétrique lorsque le ballon subit une force de frottement. Les deux temps ne sont plus égaux. Pas et méthode numérique utilisés : dt=0.01 s. Runge-Kutta 4.