Relativité restreinte : questions réponses

Questions réponses sur le chapitre « Relativité restreinte » du cours de physique
lundi 30 octobre 2006
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A la fin du XIXe siècle, l’électromagnétisme semblait imposer l’existence d’un milieu, appelé éther, dans lequel se propageait les ondes électromagnétiques et en particulier la lumière. Albert Abraham Michelson et Edward Williams Morley conçurent en 1887 une expérience [1] pour tenter de détecter le mouvement de la Terre par rapport à ce milieu. Cette expérience ne permit pas de mettre en évidence une différence de vitesse de propagation d’un signal lumineux selon sa direction de propagation.

Interprétations

George Francis Fitzgerald et Hendrik Antoon Lorentz proposèrent dès 1889 l’explication suivante pour rendre compte des résultats négatifs de l’expérience de Michelson et Morley : tout corps se mouvant dans l’éther serait raccourci par un facteur qui dépend de la vitesse du corps par rapport à l’éther. Ce facteur devant tendre vers 0 lorsque cette vitesse tend vers la vitesse de la lumière.

Henri Poincaré considérait plutôt que l’éther en mouvement relatif se modifiait et ne transmettait pas la lumière de la même façon dans toutes les directions. En 1904 il envisageait une nouvelle mécanique dans laquelle aucune vitesse ne serait supérieure à celle de la lumière. En 1905 il donnait la structure mathématique qui permettait de passer d’un système de référence à un autre qu’il baptisait transformation de Lorentz.

En 1905 Einstein proposa une théorie radicalement nouvelle et fondée uniquement sur deux postulats. Cette théorie élimine l’éther et unifie l’espace et le temps. Elle malmène la notion de simultanéité en introduisant différents temps : le temps propre lié au corps en mouvement et des temps « impropres » liés aux différents observateurs.

Le temps n’est pas universel : évidences expérimentales

- les noyaux du phosphore 30 par exemple se désintègrent avec une demi-vie de deux minutes et demie. Cela signifie qu’un physicien, dans son laboratoire, verra la moitié d’une quantité donnée de ce produit se transmuter en une autre espèce (un isotope) en deux minutes et demie. Mais si ces noyaux se propagent dans un synchrotron à une vitesse de quelque 260 000 km/s, ce n’est qu’au bout de cinq minutes, pour le chronomètre du physicien demeuré immobile, que la moitié des noyaux se seront désintégrés
- les muons présents dans les rayons cosmiques qui bombardent sans arrêt la Terre avec des vitesses voisines de la vitesse de la lumière ont bien le comportement prédit par la cinématique relativiste : au lieu que la moitié d’entre eux se désintègrent pendant les six cents premiers mètres, ils parviennent à parcourir 60 km avant de se désintégrer spontanément.


Pour illustrer le déplacement des franges d’interférence que l’expérience de Michelson et Morley devait mettre en évidence, voir :
- Superposition of Waves from Wolfram Demonstrations Project
- Wave Interference from Wolfram Demonstrations Project


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi



Documents joints

Notebook Mathematica

Commentaires

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dimanche 3 juin 2007 à 22h11 - par  Bernard Vuilleumier

C’est selon les machines ! Mais quelle que soit la vôtre, vous pouvez toujours calculer les fonctions trigonométriques hyperboliques à l’aide de la fonction exponentielle que l’on trouve sur toutes les machines. Il faut savoir que (ou chercher dans les tables CRM) :

$ sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$ cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$ tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
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dimanche 3 juin 2007 à 18h25 - par  Mélanie Boninsegni

Comment calcul-t-on la tangeante hyperbolique ? Y a-t-il une touche sur la calculatrice ? Je ne la trouve pas.
Merci

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vendredi 1er juin 2007 à 23h15 - par  Bernard Vuilleumier

Selon le sens de la translation de Σ’ selon Ox, la matrice comporte des signes moins (lorsque le déplacement s’effectue dans le sens positif de l’axe Ox) ou n’en comporte pas (lorsque le déplacement s’effectue dans le sens négatif de l’axe Ox). Si le corrigé donne une valeur numérique pour β l’énoncé devrait alors aussi en mentionner une pour θ. Vous passez de θ à β à l’aide de la relation suivante :

β=tanhθ
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vendredi 1er juin 2007 à 10h23 - par  antonin et david

nous avons du mal nous faire comprendre. en fait l’énoncé est le suivant.

Le passage d’un système sigma à sigma’ en translation uniforme selon Ox est donné par la transformation de Lorentz suivante :

Transformation de Lorentz exprimée à l’aide de fonctions hyperboliques (mais sans les signes "-" devant les sinh)

1. Que vaut la vitesse relative de la translation B d’un système par rapport à l’autre ?

(Dans le corrigé vous donnez 0.48 pour la valeur de B)

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jeudi 31 mai 2007 à 17h10 - par  Bernard Vuilleumier

J’ai trouvé l’examen de maturité 2003. Il a eu lieu le 28 mai. Je suppose que c’est bien de celui-là dont vous parlez. La question (R1 et pas R2 ?) était la suivante :

La transformation permettant le passage d’un système de référence Σ à un autre Σ’ en translation à la vitesse v selon l’axe x doit être linéaire pour assurer la réciprocité entre les deux référentiels. Elle peut s’exprimer à l’aide d’une matrice :

$\begin{pmatrix}{x’ \cr t’}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a & b\cr d&e}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x \cr t}\end{pmatrix}$

Donnez le nom de la transformation et les coefficients a, b, d et e :
- a) lorsque la vitesse de translation v est négligeable devant la vitesse de la lumière c.
- b) lorsque la vitesse de translation v n’est pas négligeable devant la vitesse de la lumière c.
- c) Expliquez comment procéder pour trouver les coefficients a, b, d et e dans le deuxième cas en utilisant l’invariance de l’intervalle entre deux événements convenablement choisis. Donnez les coordonnées (dans les deux systèmes) des événements que vous utilisez.

Est-ce bien cet énoncé qui vous pose problème et quelle est votre question ? (On ne demandait pas de calculer β mais de donner les coefficients a, b, d et e). Si ce n’est pas cet énoncé, donnez-moi le vôtre, car je n’ai rien trouvé d’autre !

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jeudi 31 mai 2007 à 16h26 - par  antonin et david

Il s’agit de l’examen de maturité du 8 mai 2003

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jeudi 31 mai 2007 à 16h04 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

Je ne trouve pas l’épreuve en question. S’agit-il d’un examen de maturité ? Pouvez-vous me donner la date précise de cette épreuve ou me rappeler l’énoncé s’il vous plaît ?

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jeudi 31 mai 2007 à 15h11 - par  antonin et david

toujours dans l’épreuve de 2006 (problème r2 point 1.) comment calculez-vous la valeur de B car l’énoncé ne nous donne aucune valeur numérique.

Merci d’avance

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jeudi 31 mai 2007 à 14h51 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

Merci pour cette précieuse remarque. Il s’agit d’une faute (de physique, vous avez gagné le gros lot !). C’est bien sûr un $\times$ qui doit figurer entre ces deux vitesses et pas un +. La formule correcte d’addition des vitesses est donc la suivante :

$v=\frac{v’+v_r}{1+\frac{v’v_r}{c^2}}$
jeudi 31 mai 2007 à 14h23

pouvez-vous nous expliquer le lien entre la formule que vous donnez dans le corrigé de l’épreuve 2006 (problème R1) B=(B’+Br)/(1+B’Br) et celle que vous donnez sur cette page. C’est le "+" entre V’ et Vr sous la fraction qui nous intrigue.

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mercredi 30 mai 2007 à 22h53 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour Yannick,

Pour l’exercice 4, les points se trouvant sur le cercle sont tous à la même distance de l’origine. Vous trouvez les points séparés par la même distance de l’origine dans la deuxième figure en mesurant ces distances à la règle. Pour connaître l’intervalle qui sépare un point de l’origine, vous mesurez sa coordonnée x et sa coordonnée t et vous calculez ensuite l’intervalle $\sqrt{t^2-x^2}$. Vous pourrez ainsi constater que les points situés sur les branches d’hyperboles sont tous séparés de l’origine du même intervalle.

Pour l’exercice 5, vous trouverez la démonstration de l’équivalence entre ces deux expressions de la matrice de transformation dans l’article Transformation de Lorentz exprimée à l’aide de fonctions hyperboliques. L’utilisation de l’une ou de l’autre de ces formes est une question de goût. De toutes façons, si vous connaissez θ vous pouvez trouver β et réciproquement, car :

tanhθ = β
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mercredi 30 mai 2007 à 22h02 - par  Bernard Vuilleumier

Il y a deux événements à considérer : la création et la désintégration d’une particule animée d’une vitesse β par rapport au laboratoire. La question est de savoir quel temps s’est écoulé entre ces deux événements dans deux systèmes de référence différents : le premier, disons Σ, attaché à la particule et le second, Σ’ lié au laboratoire. La transformation de Lorentz permet d’écrire :

$\begin{pmatrix}{\Delta x’ \cr \Delta t’}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} & -\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2} \cr -\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2} & \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\Delta x \cr \Delta t}\end{pmatrix}$

Dans la situation considérée, $\Delta x=0$ (dans Σ, l’écart spatial entre la création et la désintégration est nul car ce système est lié à la particule. Nous pouvons donc écrire :

$\begin{pmatrix}{\Delta x’ \cr \Delta t’}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} & -\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2} \cr -\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2} & \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0 \cr \Delta t}\end{pmatrix}$

En effectuant le produit matriciel, on trouve le temps Δt’ entre les deux événements (temps exprimé dans le système du laboratoire) :

$\Delta t’=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\beta^2}}$

N. B. Le temps Δt ou τ est le temps dans le système lié à la particule. On l’appelle durée de vie propre de la particule et c’est dans ce système là que le temps entre les deux événements considérés est minimal.

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mercredi 30 mai 2007 à 17h34 - par  Yannick Zillweger

Bonjour j’ai deux questions :

Pourriez vous me donner les réponses des exercices 4 et 5 sur la relativité restreinte datant du 17 novembre 2006 (avec un peux de détails) ?
Quand faut-il utiliser la transformation de Lorentz avec le cosinus/sinus hyperbolique et quand avec le 1/Sqrt[1-B^2] ?

Merci d’avance et bonne soirée.

Logo de David, rodrigo et théo
mercredi 30 mai 2007 à 16h16 - par  David, rodrigo et théo

Bonjour Monsieur, nous avons une question pour le problème R1, point 2)a)de l’examen de maturité de 2003, par quelle formule ou quel procédé trouvez vous le temps dans le systeme du laboratoire ?