Champ magnétique d’un solénoïde : réponses aux questions Production d’un champ magnétique uniforme

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 2%

Consultations préalables
- J.-A. Monard, Électricité, Chap. 15. Chap. 17, \S 122. Chap. 20, $\S$ 145.
- Protocole de l’expérience
- Induction magnétique dans un solénoïde
- Perméabilité du vide


Réponses au questions

Question 1 (2 points)
Qu’est-ce qu’un solénoïde et quelle est l’utilité d’un solénoïde ?

  • Un solénoïde est constitué d’un long fil enroulé sur un cylindre de longueur l et de rayon r tel que la longueur soit bien plus grande que le rayon (l>>r). On désigne par N le nombre de tours effectués par le fil. Un solénoïde permet de créer, en son intérieur, un champ magnétique uniforme.

Question 2 (2 points)
Comment modélise-t-on un solénoïde pour calculer le champ magnétique qu’il produit ?

  • On considère le solénoïde comme l’assemblage de N spires et on calcule le champ en son centre en sommant les contributions de chaque spire en ce point.

Question 3 (2 points)
Quelle est la loi physique qui permet d’obtenir la valeur du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde en un point de son axe ?

  • C’est la loi de Biot et Savart :

d\vec B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\vec s \times \vec r}{r^3}

L’élément infinitésimal de longueur d\vec s parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire d\vec B au point P :

[Graphics:local/cache-vignettes/L283xH309/169_9-9aa50.gif?1509554371]

Question 4 (4 points)
Quelle est l’expression du champ magnétique B créé par une spire de courant de rayon R à une distance x de son centre, distance mesurée sur l’axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la spire ?

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre d\vec s et \vec r est un angle droit. La grandeur de d\vec B vaut donc :

\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec B$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de d\vec B selon Ox :

dB_x=dB sin\alpha=dB\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 I R}{4\pi}\frac{ds}{r^3}

En additionnant tous les éléments ds du conducteur (intégrale de ds sur la spire) on obtient la circonférence 2\pi R de la spire. La grandeur du champ résultant \vec B vaut donc :

B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{r^3}

En exprimant r à l’aide de R et de x, on obtient :

r=\sqrt{R^2+x^2}

B=\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}

Question 5 (5 points)
Comment passe-t-on de cette expression à celle donnant la grandeur du champ magnétique \vec B au centre d’un solénoïde de N spires et de longueur l ?

En multipliant l’expression ci-dessus par le nombre de spires par mètre \frac{N}{l} et en l’intégrant avec Mathematica de x=-\frac{l}{2} à x=\frac{l}{2} :

mu0*n*i/(2 l)*Integrate[R^2/(R^2 + x^2)^(3/2), {x, -l/2, l/2}, Assumptions -> {R > 0, l > 0}]

B=\frac{\mu _0\text{NI}}{2l}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, dx = \frac{\mu _0\text{NI}}{\sqrt{l^2+4 R^2}}

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