Charge et décharge d’un condensateur : réponses aux questions

Croissance limitée et déclin exponentiel
jeudi 23 avril 2009
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 3%


Consultations préalables
- J.-A. Monard, Électricité, Chap. 22, $\S$ 175, 176.
- Protocole de l’expérience
- Décharge d’un condensateur
- Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance


Réponses aux questions

Question 1 (2 points)
Qu’est-ce qu’un condensateur et quelle est l’utilité d’un condensateur ?

  • Un condensateur est un composant électrique dont l’utilité est de pouvoir recevoir et rendre une charge Q dont la valeur est proportionnelle à la tension U.
    Q = CU


    La constante de proportionnalité C est appelée « capacité » du condensateur.

Question 2 (2 points)
Comment définit-on la capacité d’un condensateur ?

  • La capacité C d’un condensateur est donnée par $C=\frac{Q}{U}$.

Question 3 (2 points)
Quelle relation existe-t-il entre la charge accumulée par un condensateur et la tension aux bornes du condensateur ?

  • Une relation de proportionnalité.

Question 4 (4 points)
Un condensateur est monté en série avec une résistance, un générateur et un interrupteur (fermé) dans un circuit. Faites un schéma de ce montage. Complétez le schéma pour permettre la décharge du condensateur lorsqu’on ouvre l’interrupteur.


Question 5 (5 points)
Établissez les équations donnant la loi de charge et la loi de décharge de ce condensateur.

  • Pour la charge, on considère la boucle formée par le circuit et on utilise la loi de Kirchhoff qui affirme que la somme des tensions est nulle le long de toute maille d’un circuit. On pose donc ${{RI}+\frac{Q}{C}-{U_{gén}}}=0$, ce qui permet d’écrire $R{\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C}=U_{gén}}$. En résolvant cette équation différentielle avec Mathematica.
    sol = DSolve[{r*q'[t] + q[t]/c == ug, q[0] == 0}, q[t], t]
    sol[[1, 1, 2]]/c //Simplify

    avec la condition initiale $Q(0)=0$, et en divisant la solution par C, on obtient la loi de charge :

    ${U(t)}={U_{gén}(1- e^{-\frac{t}{\tau}})=U_{gén}(1-e^{- \frac{t}{RC}})}$


    Pour la décharge, $RI+\frac{Q}{C}=0$, donc $R\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C}=0$. En résolvant cette équation différentielle avec Mathematica.

    sol = DSolve[{r*q'[t] + q[t]/c == 0, q[0] == q0}, q[t], t]
    sol[[1, 1, 2]]/c //Simplify

    avec la condition initiale $Q(0)= Q_0$, et en divisant la solution par C, on obtient la loi de décharge :

$U(t)=U_0 e^{-\frac{t}{\tau}}=U_0 e^{- \frac{t}{RC}}$

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Commentaires  forum ferme

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samedi 20 mars 2010 à 21h34 - par  Dan Orsholits

D’accord, merci pour l’explication.

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samedi 20 mars 2010 à 20h45 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,
τ est la constante de temps du circuit RC. C’est le temps après lequel le condensateur qui se décharge voit sa charge être multipliée par 1/e. Si vous posez t=τ=RC dans la loi de décharge, vous obtenez :

$q=q_0e^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{q_0}{e}$

Lorsque le condensateur se charge, c’est le temps après lequel la charge atteint 1-1/e de sa charge maximale.

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samedi 20 mars 2010 à 20h08 - par  Dan Orsholits

Est-ce que vous pourriez expliciter ce qu’est $\tau$ dans les formules pour la charge et décharge du condensateur ?