Distance sur une sphère : réponses aux questions

jeudi 23 avril 2009
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%


Consultations préalables
- Protocole de l’expérience
- Coordonnées sphériques
- Coordonnées géographiques


Réponses aux questions

Question 1 (2 points)
Qu’est-ce qu’une latitude ? Et une longitude ? Qu’appelle-t-on « grand cercle » sur une sphère ?

  • Latitude et longitude sont des coordonnées angulaires permettant de donner la position d’un point sur une sphère. Un grand cercle est l’intersection d’un plan passant par le centre de la sphère avec cette dernière.

Question 2 (2 points)
Quelles conventions utilise-t-on pour les latitudes et les longitudes des lieux géographiques ? Quelle origine utilise-t-on sur Terre ?

  • Les latitudes sont comprises entre 0° pour l’équateur et 90° pour les pôles. Soit on les compte positivement vers le Nord et négativement vers le Sud, soit on précise « latitude Nord » ou « latitude Sud ». Les longitudes sont comptées positivement vers l’Est et négativement vers l’Ouest de 0 à 180° à partir du méridien de référence (méridien de Greenwich). Si on n’utilise pas les signes, il faut préciser « longitude Est » ou « longitude Ouest ». L’origine de ces coordonnées angulaires est l’intersection la plus proche de Greenwich du méridien avec l’équateur.

Question 3 (2 points)
Trouvez, dans un atlas ou à l’aide de Google Earth, les latitudes et longitudes de quatre capitales : deux dans chaque hémisphère, deux à l’Est et deux à l’Ouest du méridien de référence.

Question 4 (4 points)
Exprimez les coordonnées cartésiennes (x, y, z) d’un point sur une sphère de rayon r à l’aide des coordonnées sphériques (r, θ, φ).

  • Il existe plusieurs conventions. Nous utiliserons la suivante dans laquelle θ est la latitude et φ la longitude :

x = r cosθ cosφ
y = r cosθ sinφ
z = r sinθ

Question 5 (5 points)
Établissez l’expression permettant de calculer la longueur d’un arc de grand cercle reliant deux points situés sur une sphère de rayon r et dont les latitudes et longitudes sont connues.

  • On exprime les coordonnées (x, y, z) des points p1 et p2 à l’aide des coordonnées sphériques, on forme le produit scalaire entre les vecteurs reliant l’origine à ces points p1 et p2 ($\vec{p_1}.\vec{p_2}= x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2$) et on utilise la propriété suivante du produit scalaire pour trouver α :
$\vec{p_1}.\vec{p_2}=||\vec{p_1}|| ||\vec{p_2}|| cos\alpha=r^2 cos\alpha$

Une fois α connu, la longueur d’arc s s’obtient par ;

s = α r

Sujets liés (from Wolfram Demonstrations Project)
- Shortest Path between Two Points on a Sphere
- World Map Projections


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