Déformations et dimensions

La topologie est la branche des mathématiques qui s’occupe de déformations. Elle traite de la question des formes d’un point de vue qualitatif et utilise des notions telles que celles de dimension, de bijection et de continuité. Elle examine comment des objets qui seraient en caoutchouc peuvent se déformer. En topologie, les lignes droites peuvent être incurvées, les cercles peuvent être déformés en triangles ou en carrés. D’un point de vue topologique par exemple, une ligne droite et une courbe de Koch ne peuvent pas être distinguées ; un cercle et une île de Koch sont équivalents ; une feuille de papier plane est identique à une feuille infiniment froissée. Mais tout n’est pas équivalent en topologie. Les intersections de droites demeurent des intersections, quelle que soit la déformation envisagée : on ne peut ni les faire disparaître ni les faire apparaître en étirant, contractant ou torsadant des droites. De même, le nombre de trous dans un objet est invariant : on peut bien déformer une sphère en un fer à cheval – figures sans trou – mais pas en un tore – figure à un trou. Les transformations autorisées sont appelées des homéomorphismes. Ce sont les applications bijectives continues qui ont un inverse continu. Lorsqu’elles sont appliquées, elles ne changent pas les propriétés invariantes des objets.

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