Géométrie fractale

Une droite a la dimension 1, une surface la dimension 2 et un volume la dimension 3. Existe-t-il des objets de dimension intermédiaire ? Cette question n’est pas que mathématique ! Elle concerne toutes les disciplines en relation avec des sujets tels que la distribution des galaxies, la turbulence, la diffusion, la structure d’organes biologiques, les systèmes de représentation utilisés en cartographie, etc. Le concept de dimension fractale a été élaboré il y a longtemps déjà. En 1919, Haussdorf affirme dans un article (1) que certaines figures idéalisées peuvent avoir une dimension non entière. Le formalisme essentiel en ce qui concerne la dimension fractale est donc publié depuis de nombreuses années. Mais, à ce jour, il n’a pas encore trouvé place dans l’enseignement. C’est peut-être parce que certaines figures associées à ce concept, telles les courbes continues ne possédant aucune tangente, sont encore considérées comme des « monstres ». Le mathématicien Charles Hermite (1822–1901) déclarait « se détourner avec effroi de cette plaie lamentable des fonctions qui n’ont pas de dérivées ». Les travaux de Benoît Mandelbrot (2) ont pourtant clairement établi que ces figures peuvent avoir quelque chose d’extrêmement simple et intuitif et qu’elles sont réellement utiles dans de très nombreux domaines de la connaissance.

« Iles » dont l’aire est finie mais dont le périmètre tend vers l’infini.
Côtes dont les dimensions physiques sont comprises entre 1 et 2. La dimension croît de gauche à droite, à mesure que la côte est plus « découpée ».

Voir aussi : Fractal Geometry from the Wolfram Demonstrations Project.

- (1) F. Haussdorf (1919). Dimension und äussere Mass, Mathematische Annalen, 79, 157 - 179 .
- (2) B. Mandelbrot (1982). The Fractal Geometry of Nature. Freeman. San Francisco.

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