L’effet papillon

Dans un calcul numérique, certaines sources d’erreurs sont souvent ignorées et l’on suppose trop souvent que les erreurs d’arrondi sont négligeables. Or cela est faux dans certains cas. Il est donc essentiel de sensibiliser les chercheurs à ce problème et de ne pas cacher cette
difficulté aux étudiants. Nous allons montrer que les erreurs d’arrondis peuvent se manifester de plusieurs façons et qu’elles peuvent avoir des conséquences qui sont loin d’être négligeables. Les ordinateurs et les logiciels ne représentent et ne manipulent pas tous les nombres de la même façon et dans le même ordre ; deux calculs formellement identiques, mais effectués sur deux machines différentes (nous appellerons désormais « machine » le couple ordinateur + logiciel), peuvent donner des résultats différents. Dans le cas des systèmes dynamiques par exemple, où certaines opérations sont réitérées un grand nombre de fois, il arrive que les résultats obtenus par deux machines différentes, s’éloignent exponentiellement l’un de l’autre, rendant problématique la possibilité de prévoir l’évolution du système.

Attracteur de Lorenz
Les trois figures ont été obtenues à partir des mêmes équations, des mêmes conditions initiales et de la même durée d’évolution. Seules les méthodes de résolution des équations diffèrent. Selon la méthode utilisée - de gauche à droite : Euler, Runge-Kutta d’ordre 2 et Runge-Kutta d’ordre 4 - l’attracteur revêt une allure différente. Le pas d’intégration est identique dans les trois cas.

Voir aussi : Lorenz Attractor from The Wolfram Demonstrations Project.

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