Equations

Comment résoudre une équation diophantienne avec Mathematica
jeudi 1er septembre 2005
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Lorsqu’on recherche des solutions qui sont des nombres entiers ou rationnels dans une équation, on l’appelle équation diophantienne. Ce sujet est étudié depuis Diophante qui vécut à Alexandrie au IIIe siècle de notre ère. L’étude de ces équations s’avère difficile et beaucoup de problèmes diophantiens ont joué un rôle important dans l’histoire des mathématiques. Ils sont, aujourd’hui encore, considérés comme de grands classiques.

Lorsqu’on recherche des solutions qui sont des nombres entiers ou rationnels dans une équation, on l’appelle équation diophantienne. Ce sujet est étudié depuis Diophante qui vécut à Alexandrie au IIIe siècle de notre ère. L’étude de ces équations s’avère difficile et beaucoup de problèmes diophantiens ont joué un rôle important dans l’histoire des mathématiques. Ils sont, aujourd’hui encore, considérés comme de grands classiques. Le critère permettant de décider si une équation diophantienne a une infinité de solutions ou non repose par exemple sur une conjecture (de Birch et Swinnerton-Dyer) non démontrée à ce jour. Cette question figure parmi les sept problèmes du troisième millénaire dotés d’un prix d’un million de dollars !

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Fig. 1 : L’équation 1+12 x+2 x^2+7y+5 x y+2 y^2 = 0 possède une infinité de solutions. Ce sont les coordonnées des points appartenant aux hyperboles partiellement représentées ci-dessus. Mais cette équation ne possède que trois solutions entières données par les coordonnées des points rouges.

Activités proposées

1. Résoudre une équation

Résolvez l’équation ci-dessous :
a) ax^2 + bx + c = 0
b) Exprimez, à l’aide des coefficients a, b et c, la condition pour que l’équation possède :
• deux solutions réelles distinctes
• deux solutions réelles confondues
• deux solutions complexes

2. Résoudre un système d’équations

Résolvez le système d’équations ci-dessous :

x^2 + y^2= 1
1/2x^2 + 2y^2= 3/2

a) pour x et y
b) en éliminant d’abord y et en résolvant ensuite pour x
c) Dessinez les courbes correspondant à ces deux équations

3. Résoudre une équation diophantienne

Résolvez les équations ci-dessous pour des valeurs entières de x et de y :
a) 1+12 x+2 x^2+7y+5 x y+2 y^2 = 0
b) 7 + 5x + x^2 + 7y +3xy + y^2 = 0
c) x^2 - 61 y^2 = 1
d) x^2 - 2xy + y^2 + 5x - 7y = 22
e) 23 x^2 + 17 y^2 = 1693339429465935072912802926367922572800 avec x > 0 et y > 0
f) x^3 - 4xy^2 + y^3 = 1

Pour en savoir plus
• 
Les dossiers de La Recherche n° 20. Août - Octobre 2005. Mathématiques. Nouveaux défis et vieux casse-tête.

Corrigé des exercices

Voir aussi
- Equations diophantiennes
- Problèmes du millénaire
- Equations de Thue
- Coincidences in Powers of Integers from Wolfram Demonstrations Project.

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Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
vendredi 22 février 2008 à 14h33 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

Je ne connais malheureusement pas les algorithmes utilisés par Mathematica (ils ne sont pas publics) pour résoudre les équations diophantiennes. Quoiqu’il en soit, vous ne pouvez pas exprimer les solutions entières dans le cas général (sans fournir des précisions sur les paramètres C[1] et C[2]), car, d’un point de vue mathématique, comme je l’explique dans le corrigé de la lettre « Equations », selon la valeur du discriminant (∆ > 0 et √∆ non entière ou ∆ = 0) l’ensemble des solutions peut être infini.

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vendredi 22 février 2008 à 14h21 - par  Abdellah Lamkaddem

Bonjour,
Je vous remercie vivement pour la réponse qui était très rapide.
Je ne dispose pas du logiciel MATHEMATICA. Ma question était : est-ce qu’il y a une analogie du point de vue algorithmique entre la résolution de l’équation :

E(x,y)= a x2 + b x y+ c y2 + d x+ e y+ f = 0

et l’équation :

F(x,y)=ax2+bx+c

autrement dit, est-ce qu’on peut connaître à coup sûr les racines entières de l’équation E(x,y) ?

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jeudi 21 février 2008 à 22h44 - par  Bernard Vuilleumier

Cette équation est une équation diophantienne quadratique à deux variables et Mathematica peut résoudre ce type d’équation. Le type de solution dépend de la valeur du discriminant Δ = b2 - 4 a c ainsi que de d, e, f. Si vous ne précisez aucune de ces valeurs, vous obtenez une solution qui comporte 2 paramètres, C[1] et C[2]. En fixant la valeur de ces paramètres, vous obtenez une expression qui montre que f peut s’exprimer en fonction de a, b, c, d et e. En attribuant des valeurs à ces coefficients, vous obtenez la solution de l’équation :

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jeudi 21 février 2008 à 22h16 - par  Abdellah Lamkaddem

Bonjour

Est-ce qu’il ya une forme générale pour calculer les racines entières d’une équation de la forme E(x, y) = a x2 + b x y + c y2 + d x + e y + f = 0 ? Est-ce que les solutions ne dépendent pas de e, f, d ?