La cycloïde

Le paradoxe d’Aristote
lundi 2 mai 2005
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L’étude de cette courbe aux propriétés remarquables remonte au paradoxe d’Aristote : pourquoi deux cercles concentriques, l’un ayant un diamètre inférieur à l’autre, parcourent-ils une distance égale s’ils sont tournés selon un cercle, et pourquoi une fois séparés, parcourent-ils des distances proportionnelles à leurs diamètres.

La cycloïde ou « roulette » comme l’appelait Pascal, est la courbe décrite par un point d’une roue qui roule sur un plan sans glisser. L’étude de cette courbe aux propriétés remarquables remonte au paradoxe d’Aristote : pourquoi deux cercles concentriques, l’un ayant un diamètre inférieur à l’autre, parcourent-ils une distance égale s’ils sont tournés selon un cercle, et pourquoi une fois séparés, parcourent-ils des distances proportionnelles à leurs diamètres ? En 1634, Gille Personne (Roberval) parvint à déterminer la forme de cette courbe, et entre 1634 et 1637, il trouva la quadrature et le volume engendrés par la rotation d’un arc de la courbe autour de sa base. Il expliqua en outre la façon de la construire par points. En 1638, Descartes et Fermat donnèrent leur propres solutions à la quadrature d’une arche de la cycloïde et ils trouvèrent une méthode algébrique pour déterminer la tangente à la roulette. En 1658, Pascal, dans une lettre circulaire anonyme, lance un défi aux mathématiciens :

« Nous étant occupé il y a quelques mois de diverses questions touchant la cycloïde et son centre de gravité, plusieurs problèmes vinrent se présenter à notre esprit. Nous en demandons instamment la solution aux géomètres les plus illustres de l’univers »

En décembre de la même année, il publie un recueil contenant ses méthodes et ses résultats au sujet de la détermination des centres de gravité, des surfaces et des volumes liés à la cycloïde. En 1659, Huygens découvre les propriétés isochrones du pendule cycloïdal et en 1697, Jacques et Jean Bernoulli montrent que la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant, dite courbe brachistochrone, est une cycloïde.

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Fig. 1 : Trajectoires décrites par un point d’un disque de rayon r roulant sur un plan sans glisser.
A gauche, le point se trouve à une distance
r/2 et au centre à une distance r du centre du disque.
A droite, le point est situé sur un
segment radial à une distance 2r du centre du disque.

Travaux pratiques

1. Horaires
Rappel : un horaire donne la position d’un mobile en fonction du temps.
a) Donnez l’horaire Overscript[r_c, →](t) du centre C d’un cercle de rayon r qui roule sur un plan horizontal à vitesse Overscript[v, →].
b) Donnez l’horaire Overscript[r_p, →](t) d’un point P décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à vitesse
angulaire ω constante.
c) Donnez l’horaire Overscript[r, →](t) d’un point P situé à une distance d du centre d’un cercle de rayon r roulant sans glisser sur un plan horizontal.
2. Cycloïdes
Construisez une animation permettant de faire rouler sans glissement une roue de rayon r sur un plan et d’obtenir la trajectoire d’un point solidaire de la roue et situé à une distance d du centre.
3. Le paradoxe d’Aristote
Deux cercles concentriques et solidaires de diamètres différents parcourent chacun la même distance (pas la même dans les deux cas) qu’on les tourne selon le petit ou le grand cercle :

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Une fois séparés, ils parcourent chacun des distances proportionnelles à leurs diamètres :

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Pour élucider ce paradoxe :
a) dessinez deux cercles concentriques, l’un ayant un diamètre inférieur à l’autre ;
b) faites rouler ces cercles solidaires :
• sur un plan horizontal tangent au petit cercle ;
• sur un plan horizontal tangent au grand cercle.
Observez attentivement l’animation et expliquez comment résoudre le paradoxe d’Aristote.

Corrigé des exercices

Pour en savoir plus

- Animation réalisée avec Cabri
- Lettre disponible sur Hypatie avec corrigé (format pdf et notebook Mathematica)

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Documents joints

Animation