L’équilibre et les forces résultantes

Rapport de physique
mercredi 19 décembre 2007
par  Vinciane Vuilleumier, Virginie Reymond
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But :

  • Étudier des dispositifs comprenant 3 dynamomètres à l’équilibre statique (« rien ne bouge »)
  • Comprendre comment construire et dessiner la résultante de plusieurs (2 ou 3) forces (addition de vecteurs force)

Théorie / rappel : Lorsque trois forces sont en jeu et que le tout est statique, nous savons qu’il y a une compensation des forces ( par exemple : 1 et 2 " contre " 3 => entre 1 et 2 il y a une force qui compense la 3ème ), donc une force résultante nulle. C’est pour cela que la construction est statique. Nous avons donc :

$\vec F_a+\vec F_b+\vec F_c =\vec 0$

Matériel & montage expérimental :

- 2 feuilles blanches
- 3 dynamomètres
- 3 fils noués
- règle graduée
- équerre

Marche à suivre :

- 1) Une feuille blanche A4 est posée à plat sur le pupitre et fixée avec du ruban adhésif.

  • Régler le 0 de chaque dynamomètre en position horizontale.

- 2) Les trois fils noués sont attachés aux trois dynamomètres. Un élève tient les extrémités de deux dynamomètres (un dans chaque main), l’autre élève tient le troisième dynamomètre dans une main et un crayon dans l’autre.

  • Tirer convenablement sur les dynamomètres et veiller à ce que le nœud des fils (point P) soit situé au milieu de la feuille.

- 3) Ne plus bouger et relever :

  • le point central P
  • les points A, B et C choisis sur chacun des fils (loin du nœud)
  • les valeurs de chacun des trois dynamomètres

- 4) Enlever les dynamomètres et les fils.

  • Dessiner sur la feuille les vecteurs $\vec F_a$, $\vec F_b$ et $\vec F_c$ en choisissant une échelle appropriée.

- 5) Construire sur la feuille la résultante de 2 des 3 forces (méthode du « parallélogramme »)

  • Comparer cette résultante à la troisième force. Analyse ?
  • Construire sur la feuille la résultante des 3 forces par la méthode " bout à bout " ( en commençant par la troisième force qui a été laissée de côté jusqu’ici ).

La résultante est-elle approximativement nulle, comme attendu ? Analyse ?

6) Répéter les opérations 1) à 5) pour une autre situation avec 2 forces $\vec F_a$ et $\vec F_b$ perpendiculaires.

  • La valeur de la résultante de ces 2 forces peut-elle être directement calculée ? Comparer à $\vec F_c$.

Résultats & Calculs :

Les mesures sont en cm.

Sur la construction 1 : 1 N <-> 5 cm

- Fa : 0,62 N : 3,1 cm
- Fb : 0,85 N : 4,3 cm
- Fc : 1,3 N : 6,5 cm

Ncm
Fa 0,62 3,1
Fb 0,82 4,3
Fc 1,30 6,5

Sur la construction 2 : 1 N <-> 5 cm

- Fa : 0,7 N : 3,5 cm
- Fb : 0,63 N : 3,2 cm
- Fc : 1 N : 5 cm

Ncm
Fa 0,70 3,5
Fb 0,63 3,2
Fc 1,00 5,0

Calcul par la méthode du « parallélogramme » :

$F_{résAB}$ : 4,3 cm => 0,96 N

  • Différence de 0,2 cm avec le résultat attendu 5 cm.

Calcul par le théorème de Pythagore :

Rappel du théorème : $A^2 + B^2 = C^2 $

$F_c ^2 = F_a^2 + F_b^2$ = 3,52 + 3,22 = 22,5

$F_c = \sqrt{F_a^2 + F_b^2}$ = $\sqrt{22,5}$ = 4,74 cm

Analyse :

- $F_{résAB}$ (méthode « parallélogramme ») : 4,8 cm
- $F_c$ : 5 cm
- $F_{résAB}$ (théorème de Pythagore) : 4,74 cm

En calculant la force résultante par la méthode dite du « parallélogramme », nous trouvons la mesure 4,8 cm, puis en utilisant le théorème de Pythagore (utilisable ici pour « additionner » les forces car la construction fait partie des exceptions) nous trouvons la mesure 4,74 cm.
En comparant ces deux résultats à la $F_c$ qui est de 5 cm, nous remarquons qu’il y a une différence d’environ 2 mm.
Nous observons donc que le résultat obtenu par la construction n’est pas exactement égal au résultat théorique sûrement par des imprécisions lors de l’expérience, et que le résultat obtenu par le théorème n’est lui non plus pas exactement égal au résultat théorique, sûrement à cause des mesures des $\vec F_a$ et $\vec F_b$ qui sont peut-être pas totalement exactes (là encore, cela peut être dû aux imprécisions lors de l’expérience).

Analyse des résultats :

Construction 1 :

Nous remarquons que la $F_{résAB}$ est plus petite d’1 mm que la $F_c$. Nous pensions, au début de l’expérience, trouver la même direction pour la force résultante que pour la $F_c$, mais nous pouvons observer qu’elle est légèrement décalée, et par ce fait, qu’elles n’ont pas la même direction.
Grâce à notre observation sur la direction des $\vec F_c$ et $\vec F_{résAB}$, nous pouvons déduire que leur sens n’est pas exactement opposé, comme ils auraient dû.
Quant à la $\vec F_{résAB}$, mesurée grâce à la méthode « bout à bout », nous remarquons qu’elle aussi n’est pas parfaitement exacte. En effet, nous nous attendions à une force égale à 0, ce qui expliquerait la stabilité du noeud, mais nous observons qu’il y a une différence d’1 mm, due aux imprécisions de l’expérience.

Construction 2 :

Nous observons que le parallélogramme est presque un carré, à cause de l’angle droit que forment les $\vec F_a$ et $\vec F_b$. Alors que nous nous attendions à une $\vec F_{résAB}$ reflétant parfaitement la $\vec F_c$, nous remarquons que la $\vec F_{résAB}$ est légèrement plus courte. Nous en déduisons que notre construction n’est pas aussi précise qu’elle aurait dû l’être. Nous remarquons aussi que cette construction fait partie des exceptions, et par ce fait que nous pouvons « additionner » les forces A et B pour trouver la $F_{rés}$ en utilisant le théorème de Pythagore. Cela dit, le résultat fourni par cette méthode ($F_{résAB}$ = 4,74 cm) est différent du résultat théoriquement juste (5 cm) : ces deux résultats ont une différence de 0,26 cm. Nous en déduisons que nos mesures ont des parts d’imprécision et qu’il n’est pas aisé d’arriver à des résultats parfaits par les constructions.

Comparaison des résultats :

Construction 1 :

La $F_{résAB}$ devait théoriquement mesurer 4,3 cm mais nos mesures nous indiquent qu’elle est plus petite d’1 mm : elle mesure 4,2 cm.
La $F_{résAB}$, qui, de par la stabilité du noeud, doit être de 0, n’est pas exactement nulle.

Construction 2 :

La $F_{résAB}$ devait théoriquement mesurer exactement la même longueur que le $F_c$ 5 cm, mais elle mesure sur notre construction 4,8 cm et par la méthode du théorème de Pythagore, 4,74 cm.
La $F_{résABC}$ mesure quant à elle à peu près 0,2 cm alors qu’elle devait être nulle, pour prouver la stabilité du noeud.

Causes d’imprécisions :

La première cause d’imprécision que nous pouvons répertorier est les tremblements de nos mains lorsque nous tenions les dynamomètres : par ce fait, l’équilibre du noeud peut être remis en cause. En deuxième lieu, les imprécisions peuvent venir du fait que nous avions mal réglé le 0 des dynamomètres : cela enduit en erreur toute l’expérience. Nous avons aussi comme cause d’imprécision une erreur de lecture de notre part des dynamomètres, en ne regardant pas attentivement le dynamomètre, nous avons pu nous tromper en notant les valeurs. Comme autre cause, nous avons aussi le fait que nous avions peut-être mal tenu les dynamomètres, peut-être n’avions nous pas mis les dynamomètres totalement horizontaux et cela les a faussés.
Toutes ces imprécisions peuvent parfaitement être les causes des différences des mesures de notre construction : elles peuvent expliquer que nos résultats ne concordent pas parfaitement avec les résultats théoriquement exacts.

Conclusion :

Le but de l’expérience étant de comprendre comment construire la résultante de plusieurs forces, nous pensons pouvoir affirmer qu’il a été atteint. Nous avons appris par cette expérience comment utiliser différentes méthodes pour finalement trouver la résultante de 2 ou 3 forces.
Cette expérience nous a permis de vérifier qu’il y a toujours une force résultante qui compense les autres forces, qu’il y ait une stabilité ou pas. Dans le cas d’une construction statique, nous avons démontré que la force résultante était nulle.


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