301AMos. Épreuve d’applications des mathématiques

Modélisation avec Stella
lundi 5 novembre 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 1%

- Champ
- Documents autorisés : zone personnelle, aide en ligne.
- Lundi 5 novembre 2007, CECNB salle B1, A3-A4, 95 min.


Questions. Vrai ou faux ?
Lorsqu’on lance une simulation avec un modèle comportant un flux connecté à un réservoir, Stella :

  • maintient toujours le flux constant
  • maintient le flux constant durant le pas d’intégration dt
  • intègre numériquement la fonction qui se trouve dans le flux

Un flux entrant non constant est connecté à un réservoir et, durant la simulation, le réservoir se remplit. En général, le contenu au terme de la simulation :

  • dépend de la valeur initiale placée dans le réservoir
  • dépend du pas d’intégration
  • dépend de la définition du flux
  • dépend de la durée de la simulation


Problème 1
Une chasse d’eau d’une capacité de 10 litres est initialement vide. À mesure qu’elle se remplit le débit du tuyau de remplissage diminue.

- Construisez la carte Stella décrivant ce phénomène.
- Définissez le débit du tuyau de remplissage en fonction du volume d’eau dans le réservoir, de sa capacité et du débit maximum (débit lorsque le réservoir est vide).
- Que doit valoir le débit maximum pour que le réservoir se remplisse à 90% :

  • en 10 s ?
  • en 20 s ?


Problème 2
La carte d’un modèle se présente ainsi :

PNG - 1.7 ko
Les flux sont proportionnels au contenu du réservoir

Le contenu initial du réservoir est différent de 0 et les flux sont proportionnels au contenu du réservoir. Esquissez tous les comportements auxquels ce modèle peut donner lieu en précisant sous quelles conditions chaque comportement se réalise.


Problème 3
Une population se développe dans un milieu aux ressources limitées. La population initiale croît rapidement, mais, à mesure qu’elle croît, les ressources diminuent et la croissance se stabilise. L’évolution de la population prend l’allure suivante :

- Dessinez la carte Stella minimale représentant ce phénomène.
- Nommez et définissez tous les éléments de votre carte.
- Donnez les valeurs et équations permettant d’obtenir ce type de comportement.


Problème 4
Dans son Almagestum Novum, Giambattista Riccioli (1598 - 1671) relate les expériences de chute qu’il a effectuées à Bologne, à la Torre degli Asinelli :
« on trouva que deux globes d’argile, de même dimension, dont l’un, évidé, ne pesait que dix onces, tandis que l’autre plein, en pesait vingt, qui partaient au même moment du sommet de la tour, arrivaient au sol à des moments différents. Et que, notamment, le plus léger restait de quinze pieds en arrière » [1]

- Construisez un modèle Stella permettant de simuler la chute de ces globes et d’estimer, d’après ce compte rendu, de quelle hauteur ils ont été lâchés.

Données numériques : g = 9.8 m/s2, rayon des globes r = 4.8 cm, masse volumique de l’air ρ = 1.293 kg/m3, coefficient de forme des globes Cx = 0.24.

Indications : L’once vaut 31 g et le pied 29.57 cm (pied romain). La section apparente des globes est donnée par S = πr2. Pour la force de frottement, vous utiliserez l’expression :

$F_{frott}=\frac{1}{2}\rho S C_x v^2$

Corrigé
Résultats


[1Giovanni Battista Riccioli. Almagestum Novum. Bononiae,1651, vol. II, p.387. (Cité par A. Koyré)