Atteindre une cible mobile : équations horaires

Equations horaires
samedi 18 février 2006
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Lorsqu’on connaît les équations horaires de deux mobiles, il est possible de répondre aux questions suivantes : les mobiles se rencontreront-ils ? Combien de temps après leur départ ? Où la rencontre aura-t-elle lieu ?

Vous visez une cible située à une certaine hauteur. Lorsque le coup part, la cible entame une chute libre. Si les forces de frottement sont négligeables, le projectile et la cible subissent la même accélération. Quelle que soit la vitesse initiale du projectile, il atteindra la cible visée !

Équations horaires

Choisissons l’origine du temps à l’instant de départ des deux mobiles et l’origine du référentiel au point de départ du projectile. Désignons par $\vec v_0$ la vitesse initiale du projectile et par $\vec d$ le vecteur position de la cible avant son départ. Les horaires de la cible et du projectile sont respectivement :

a) Cible

$\vec r_1=\vec d+\frac{1}{2}\vec gt ^2$</center

b) Projectile

$\vec r_2=\vec v_0 t+\frac{1}{2}\vec gt ^2$</center

Le projectile touchera la cible si, pour une valeur positive de t, les vecteurs $\vec r_1$ et $\vec r_2$ sont égaux :

$\vec d+\frac{1}{2}\vec gt ^2=\vec v_0 t+\frac{1}{2}\vec gt ^2$</center

ou encore, après simplification :

$\vec d=\vec v_0 t$</center

Cette dernière équation vectorielle permet de trouver les temps de vol pour les différentes vitesses initiales. En théorie, la bille atteint invariablement la cible visée. La durée du parcours et le point de rencontre dépendent évidemment de la position initiale de la cible et de la grandeur de $\vec v_0$.

Résolution de l’équation vectorielle avec Mathematica

Calcul du temps de vol et coordonnées du point de rencontre