Cinématique vectorielle

Horaire. Vecteurs. Vitesse moyenne et vitesse instantanée. Chocs
mardi 7 octobre 2008
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%

Horaire
Un mobile se déplace au voisinage de la surface terrestre. On néglige le frottement. Il est donc soumis à une force constante qui est son poids. Son horaire s’écrit :

Horaire d'un mouvement dans un champ de force uniforme

Choisissez un système d’axes Oxy dont l’axe y est aligné sur le poids et dirigé vers le haut puis calculez, à partir de $\vec r_0$=(0, 5) m et $\vec v_0$=(4, 2.1) m/s :
- l’équation de la trajectoire
- les coordonnées de son sommet
- la portée du tir
- le temps de vol
- la vitesse lors de l’impact


Horaire : réponses
- L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps t entre les équations horaires (selon Ox et selon Oy). On trouve la fonction :

$y=-0.31x^2 +0.525x+5$

N. B. Le code Mathematica permettant d’obtenir les réponses se trouve dans des cadres.


- Les coordonnées du sommet s’obtiennent en cherchant pour quelle valeur de x la dérivée de la fonction est nulle (car la pente de la courbe est nulle au sommet), puis en substituant cette valeur dans l’équation de la trajectoire pour obtenir y. On trouve (0.86, 5.22) m.


- La portée du tir correspond à l’abscisse d’un des 0 de la fonction : 4.98 m


- Le temps de vol est donné par $\frac{x}{v_x}$=1.25 s


- La vitesse finale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle et s’obtient par le théorème de Pythagore :
$v_0=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
La vitesse selon y est obtenue à partir de la dérivée de l’horaire selon Oy dans laquelle on remplace t par le temps de vol vy=-9.81t+2.1=10.89 m/s


Interprétation de graphiques
1. La distance parcourue par un mobile est donnée par le graphique suivant :

- Parmi les affirmations suivantes, biffez celles qui sont fausses :

  • la vitesse du mobile est nulle en t=0 s
  • la vitesse du mobile diminue durant les 12 premières secondes
  • la vitesse du mobile est supérieure à 6 m/s en t=3 s
  • la vitesse du mobile est maximale en t=12 s
  • la vitesse du mobile vaut 18 m/s en t=12 s
  • la vitesse du mobile varie linéairement

- Calculez sa vitesse moyenne sur tout le trajet. $\frac{distance}{temps}$=1.5 m/s

2. La vitesse d’un mobile est donnée par le graphique suivant :

- Parmi les affirmations suivantes, biffez celles qui sont fausses :

  • la distance parcourue par le mobile diminue au cours du temps
  • la distance parcourue après 2 secondes est inférieure à 3 m
  • la distance parcourue entre t = 0 et t = 2 s est supérieure à celle parcourue entre t =10 et t = 12 s
  • la vitesse du mobile est inférieure à 2 m/s en t = 6 s
  • l’accélération du mobile est négative durant tout le trajet
  • l’accélération du mobile est minimale en t=0 s

- Estimez la distance franchie en 12 s. Aire sous la courbe = 18.2 m

Choc
Deux objets se heurtent perpendiculairement et restent collés l’un à l’autre. Le premier a une masse triple de l’autre. Leurs vitesses initiales ont la même grandeur v.
- Faites un schéma décrivant la situation avant et après le choc.
- Quelle est la vitesse du système après le choc ? Vous donnerez sa grandeur, exprimée en % de v et l’angle qu’elle forme avec la vitesse initiale du premier objet.


Choc : réponses
On utilise le principe de la conservation de la quantité de mouvement (grandeur vectorielle). On décompose les vecteurs selon Ox et Oy, ce qui donne, en supposant que c’est la bille qui se déplace horizontalement qui a une masse triple de l’autre :

Selon Ox : 3mv = 4mw cosα
Selon Oy : mv = 4mw sinα


En divisant la deuxième équation par la première, on obtient $\frac{1}{3}=tg\alpha$ ce qui vous permet de trouver α=18.4° puis d’exprimer w = 0.79 v.


Documents joints

301PYos-20081007

Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
lundi 13 octobre 2008 à 22h28 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Vous remplacez α, dans 3mv = 4mw cosα, par arctg(1/3) et vous isolez w, ce qui donne :

$w=\frac{3v}{4 cos(arctg(\frac{1}{3}))}$

qui vaut, numériquement, w = 0.79 v. Voilà.

À demain.

Logo de Cyril Alispach
lundi 13 octobre 2008 à 19h56 - par  Cyril Alispach

Bonsoir,

Je n’ai pas compris comment on obtient w = 0.79 v. Pouvez-vous me donner les details du calcul ?

Meilleures salutations