Couple de forces et vitesse angulaire Effet d’un couple résistant sur la vitesse angulaire d’un gyroscope

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Lorsqu’un solide rigide en rotation est soumis à un couple constant, son accélération angulaire est aussi constante. Il en résulte que sa vitesse angulaire peut être représentée par une droite.

Exercice

Un petit gyroscope cylindrique de masse m=100 g et de 5 cm de rayon tourne autour de son axe à raison de 3600 tours par minute. Sachant qu’il s’arrête en 3 minutes sous l’action de résistances passives équivalentes à un couple que vous supposerez constant, calculez :
a) l’accélération angulaire ? du gyroscope ;
b) le moment M du couple résistant ;
c) le nombre n de tours effectués entre le début du ralentissement et l’arrêt.

Solutions

a) Comme le couple des résistances passives est constant, l’accélération angulaire est aussi constante. Elle vaut :

\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=\frac{\omega_{finale}-\omega_{initiale}}{\Delta t}=-\frac{2\pi}{3} rad/s2

b) Le moment du couple résistant est donné par M=I\alphaI est le moment d’inertie d’un cylindre :

M=\frac{mr^2}{2}\alpha=-0.26\times10^{-3} Nm

c) La vitesse angulaire décroît linéairement. Si on reporte cette vitesse en fonction du temps, l’aire sous la droite donne l’angle θ en radian dont le gyroscope a tourné avant de s’arrêter :

{\theta}=\frac{\omega t}{2}=\pi\nu t

Le nombre de tours s’obtient en divisant cet angle par 2π :

n={\frac{\nu t}{2}}=5400 tours