Énergie cinétique, potentielle et mécanique

Théorèmes et loi de conservation
lundi 24 avril 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Cette présentation suit celle se trouvant dans J.-A. Monard, Mécanique, Bienne, 1977.

Energie cinétique

Définition : On appelle énergie cinétique d’un point matériel le demi-produit de sa masse par le carré de sa vitesse :

$E_{cin}=\frac{1}{2}m v^2$

Théorème de la variation de l’énergie cinétique

Le travail de la résultante des forces qui s’exercent sur un point matériel, sur une portion de sa trajectoire, est égal à sa variation d’énergie cinétique :

$A_{12}=E_{cin}(2)-E_{cin}(1)$

Champ de force conservatif et énergie potentielle

Définition : Un champ de force est conservatif lorsque les travaux qu’il effectue sont indépendants des chemins. Exemples de champs de force conservatifs : champ uniforme, champ de la pesanteur, champ de gravitation, champ de force élastique, champ de force produit par une charge électrique.

Les forces de frottement en revanche ne sont pas conservatives car le travail de ces forces dépend de la longueur du chemin.

L’énergie potentielle se définit exclusivement pour un mobile situé dans un champ de force conservatif. On choisit arbitrairement dans un tel champ un point de référence ou origine O et on considère le travail A effectué par le champ lorsque le mobile passe d’un point quelconque P au point O. Comme le champ est conservatif, ce travail ne dépend pas du chemin suivi par le mobile. Le point O étant choisi, ce travail ne dépend plus que du point P. Cette fonction de P est appelée énergie potentielle du mobile en P et on la note :

$E_{pot}(P)=A_{PO}$

Définition : Dans un champ de force conservatif, l’énergie potentielle d’un mobile en un point est le travail effectué par le champ, lorsque le mobile passe de ce point au point de référence.

Théorème

Le travail d’une force conservative, sur un parcours quelconque, est égal à la différence d’énergie potentielle entre le point de départ et le point d’arrivée :

$A_{12}=E_{pot}(1)-E_{pot}(2)$

Les deux théorèmes ci-dessus permettent d’établir que la somme des énergies cinétique et potentielle est la même en deux points quelconques de la trajectoire. C’est une constante du mouvement appelée énergie mécanique.

Définition : On appelle énergie mécanique d’un point matériel la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.

$E_{mec}=E_{cin}+E_{pot}$

Loi de conservation de l’énergie mécanique : Si un mobile ne subit que des forces conservatives, son énergie mécanique est constante :

$E_{mec}(1)=E_{mec}(2)$

Cette loi exprime - ici dans le cas de la mécanique - une des lois les plus importantes de la physique : la loi de la conservation de l’énergie.

Exercice

Un mobile se déplace dans un champ de force conservatif. Démontrez que la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle est la même en tout point de sa trajectoire.

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