Énergie potentielle de gravitation

Travail de la force de gravitation
samedi 6 mai 2006
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%

Pour calculer l’énergie potentielle (énergie de position) d’une particule dans le champ de gravitation, on choisit arbitrairement une origine ou point de référence et on considère le travail effectué par le champ lorsque la particule passe de sa position au point de référence :

$E_{pot(P)}=A_{PO}$

Choisissons le point de référence à l’infini afin que le champ de gravitation soit nul en ce point et calculons l’énergie potentielle d’une particule de masse m située en un point P éloigné d’une distance d du centre d’un astre de masse M et de rayon R :

PNG - 3.2 ko
Energie potentielle de gravitation
L’énergie potentielle de gravitation de la masse m au point P est égale au travail effectué par la force de gravitation F lorsqu’on déplace la masse du point P au point O situé à l’infini.

$E_{pot(P)}=A_{PO}=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}=\int_d^{\infty } -\frac{GMm}{r^2}dr = -\frac{GMm}{d}$

Lorsqu’on connaît la distance d séparant la masse m du centre de l’astre de masse M, on peut calculer l’énergie potentielle de gravitation de m. Si la masse m se trouve à la surface d’un astre de rayon R, l’énergie potentielle de m est donnée par :

$E_{pot(P)}=A_{PO} = -\frac{GMm}{R}$

La loi de conservation de l’énergie mécanique permet par exemple de calculer la vitesse de libération. Lorsqu’une particule s’échappe de l’astre avec une vitesse égale à la vitesse de libération, elle « atteint » l’infini avec une vitesse nulle. Cette vitesse de libération s’obtient en égalant l’énergie mécanique de la particule lorsqu’elle se trouve à la surface de l’astre à son énergie mécanique lorsqu’elle est à l’infini.

N. B. En choisissant l’origine O à l’infini (point de référence où l’énergie potentielle s’annule), on obtient toujours des valeurs négatives pour l’énergie potentielle de gravitation.


Documents joints

Notebook Mathematica

Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
dimanche 7 mai 2006 à 22h36 - par  Bernard Vuilleumier

Oui, c’est bien la bonne formule. Vous pouvez l’obtenir lorsque vous connaissez l’expression de l’énergie potentielle de gravitation. Vous postulez la conservation de l’énergie mécanique. Celle-ci est nulle à l’infini car lorsque le mobile libéré « atteint » l’infini, sa vitesse et son énergie cinétique sont nulles et, en choisissant l’origine à l’infini, on annule son énergie potentielle. Son énergie mécanique au départ est donc aussi nulle. Son énergie cinétique au départ vaut alors $\frac{mv^2}{2}=\frac{GMm}{R}$, ce qui permet d’obtenir l’expression que vous donnez pour la vitesse de libération.

Logo de Da Costa Almeida Ruben
dimanche 7 mai 2006 à 11h46 - par  Da Costa Almeida Ruben

Est-ce que la formule pour la vitesse de libération V d’un astre de masse M et de rayon R est :

$V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$