Exercices : quantité de mouvement, gravitation et énergie

Cinq exercices avec corrigés et réponses
mardi 9 mai 2006
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 2%

N. B. Vous pouvez copier les instructions se trouvant dans les cadres, les coller dans un notebook et les exécuter si vous disposez de Mathematica.



Exercice 1
Une bille de plastiline de masse m possède une vitesse u. Une seconde bille de masse 3 m heurte la première et se colle à elle. Le système final a une vitesse dont la grandeur vaut deux fois celle de la première bille, mais de direction perpendiculaire. Exprimez la vitesse initiale de la seconde bille (composantes, grandeur et direction) et calculez ces différentes grandeurs.

Écrivons l’équation de la conservation de la quantité de mouvement en composantes selon Ox et Oy et résolvons cette équation par rapport à vx et vy. Calculons la grandeur de la vitesse finale et l’angle qu’elle forme avec Ox.

- Rép. $v_x=-\frac{u}{3}, v_y=\frac{8u}{3}, v=\frac{1}{3}\sqrt{65} u, \theta=-82.875$°.



Exercice 2
Sur un rail, un wagonnet de 1 kg roulant à une vitesse de 6 m/s entre en collision avec un wagonnet de 2 kg, roulant en sens inverse à une vitesse de 2 m/s. Le premier wagonnet est repoussé en arrière à une vitesse de 1 m/s. Quelle est la vitesse finale de l’autre wagonnet ?

Écrivons l’équation de la conservation de la quantité de mouvement, résolvons cette équation par rapport à w2 et introduisons les valeurs numériques dans la solution.

- Rép. $w_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2-m_1w_1}{m_2}, w_2=\frac{3}{2}$.



Exercice 3
A quelle altitude h faut-il placer un satellite pour qu’il décrive une orbite circulaire autour de la Terre :

  • en 24 h ?
  • en 12 h ?

Données numériques : G=6.67×10-11 Nm2/kg2, M=6×1024 kg, R=6400 km.

Égalons la force de gravitation à la force centripète, substituons dans la force centripète la vitesse par la distance parcourue (circonférence) divisée par la période, résolvons cette équation par rapport à l’altitude h et substituons les valeurs numériques dans cette solution.

- Rép. $ h=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}}-R$, 3.59×107 m, 2.02 ×107 m.



Exercice 4
A quelle distance x de la Terre un objet soumis à l’attraction de la Terre et de Mars subirait-il une force résultante nulle ?

Données numériques : mTerre=6×1024 kg, mMars=0.107mTerre, dTerre-Mars=7.8×107 km.

Appelons la distance Terre-objet x, égalons la force exercée par la Terre à celle exercée par Mars sur l’objet lorsqu’il se trouve à cette distance x, simplifions et résolvons l’équation par rapport à x. Substituons les valeurs numériques dans la solution.

- Rép. $ x=\frac{d_{TM}\sqrt{m_T}}{\sqrt{m_M}+\sqrt{m_T}}$, 5.88×1010 m.



Exercice 5
Vous lancez un objet à la vitesse v0 depuis une fenêtre située à une hauteur h. Exprimez et calculez en négligeant le frottement la vitesse v de l’objet lorsqu’il arrive au sol dans les 3 cas suivants :

  • vous lancez l’objet horizontalement
  • vous lancez l’objet sous un angle de 45° vers le haut
  • vous lancez l’objet verticalement vers le bas.

Données numériques : h=25 m, v0=20 m/s, accélération terrestre au voisinage de la Terre g= 9.8 m/s2.

Si on néglige le frottement, le mobile ne subit qu’une seule force qui est conservative, son poids. Utilisons le théorème de l’énergie mécanique pour exprimer sa vitesse lorsqu’il arrive au sol puis substituons les valeurs numériques dans la solution.

- Rép. $ v=\sqrt{2gh+v_0^2}$, 29.83 m/s. N. B. v ne dépend pas de l’angle de tir.


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Commentaires  forum ferme

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mercredi 18 avril 2007 à 15h05 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour Antonio,

Si vous savez que la force qui agit sur un mobile de masse m est donnée par le produit de cette masse par l’accélération a du mobile, vous retrouverez facilement l’expression de la force centripète à partir de l’accélération centripète

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mercredi 18 avril 2007 à 14h58 - par  Antonio Rodriguez Pupo

Bojour,

Merci pour votre réponse.

Mon problème était que je ne comprenais pas d’où venait la formule de la force centripète. Je partais en égalant énergie potentielle de gravitation à énergie cinétique.

Je ne me souviens pas très bien des forces centripètes, pourriez-vous m’indiquer un lien théorique sur le owl ?

Merci Beaucoup

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mardi 17 avril 2007 à 22h26 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour, à qui réponds-je ?

Ne vous focalisez pas sur le code Mathematica, mais lisez d’abord attentivement le texte explicatif qui précède ! Il faut égaler la force de gravitation à une force centripète :

$\frac{GmM}{(R+h)^2}=\frac{mv^2}{R+h}$

Vous divisez ensuite l’égalité par m, vous remplacez la vitesse v par $\frac{2\pi (R+h)}{T}$ et vous résolvez par rapport à h.

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mardi 17 avril 2007 à 21h46 - par  Antonio Rodriguez Pupo

Bonjour Monsieur,

Je ne comprends pas bien comment vous posez les équations de l’exercice 3 dans votre corrigé Mathematica.

Vous posez :

SolveG*m/(R + h)^2 == v^2/(R + h) /. v

Où vous équivalez la force de gravitation à

Fgrav = v^2/(R+h)

D’où provient cette égalité ?

Merci