Exercices sur la cinématique vectorielle Cinématique et grandeurs vectorielles

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La position, la vitesse et l’accélération d’un mobile peuvent se représenter à l’aide de vecteurs.

Source : J.-A. Monard, Mécanique, Bienne 1977

Vecteur position
Pour repérer la position d’un point P dans l’espace, nous choisirons un point fixe O et nous considérerons le vecteur que nous appellerons vecteur position du point P. Le point O est l’origine. Les composantes numériques du vecteur position suivant un système d’axes orthonormés (O, \vec x, \vec y, \vec z) sont appelées coordonnées du point P. En identifiant le vecteur avec la matrice formée de ses composantes, nous écrirons :

\vec r=(x, y, z)

Horaire
La fonction qui, à chaque instant t, fait correspondre un vecteur position est appelée horaire du mobile. Le mouvement d’un point matériel est déterminé par son horaire :

t\rightarrow\vec r=\vec r (t)

Pour repérer la position d’un point matériel, il faut un référentiel. Nous dirons qu’un point matériel est immobile par rapport à un référentiel si son vecteur position dans ce référentiel ne varie pas au cours du temps.

Vecteur vitesse
Soit t_1 la date de passage du mobile au point P_1. Un instant plus tard, à une date t_2, le mobile se trouve au point P_2. Le déplacement de P_1 à P_2 peut se représenter par :

\Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1

et le temps utilisé pour ce déplacement par \Delta t = t_2 - t_1. Nous définirons la vitesse moyenne sur le parcours P_1P_2 par le rapport :

\vec v_m=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

Si nous choisissons des intervalles de temps \Delta t de plus en plus petits, les espaces parcourus \Delta \vec r deviennent aussi de plus en plus petits. Pour la plupart des mouvements que nous étudierons, \vec v_m tend vers une limite lorsque \Delta t tend vers zéro. Cette limite est, par définition, la vitesse au point P.

\vec v=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt}=\dot{\vec r}

L’opération que nous avons faite avec le vecteur \vec r se nomme dérivation et le résultat de cette opération s’appelle dérivée. Ainsi, la vitesse est la dérivée par rapport au temps de la fonction donnant le vecteur position du mobile. Le vecteur vitesse en un point est toujours tangent à la trajectoire en ce point. La grandeur du vecteur vitesse, qui est toujours positive ou nulle, est désignée par v. Nous écrirons donc ||\vec v|| = v. Les composantes du vecteur vitesse suivant (O, \vec x, \vec y, \vec z) seront désignées par v_x, v_y, v_z et nous écrirons, comme pour le vecteur position :

\vec v=(v_x, v_y, v_z)

La norme et les composantes du vecteur vitesse sont liées, comme pour tout vecteur, par la relation :

v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}

Lorsque la position du mobile est donnée par une fonction, le procédé mathématique de dérivation permet d’obtenir la vitesse du mobile. Réciproquement, si la vitesse initiale du mobile est connue et si la vitesse est donnée par une fonction, le procédé mathématique d’intégration permet de trouver la position du mobile.

Vecteur accélération
Soit t_1 la date de passage du mobile au point P_1. Un petit moment plus tard, à une date t_2, le mobile se trouve au point P_2. Soient \vec v_1 et \vec v_2 les vitesses du mobile en ces points. Durant l’intervalle de temps \Delta t =  t_2 -  t_1, la vitesse a subi une variation \Delta \vec v = \vec v_2 -\vec v_1. Choisissons des intervalles de temps \Delta t de plus en plus petits. Pour la plupart des mouvements que nous étudierons, le rapport définissant l’accélération moyenne sur le parcours P_1P_2 :

\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

tend vers une limite lorsque \Delta t tend vers zéro. Cette limite est, par définition, l’accélération au point P.

\vec a=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}=\dot{\vec v}

L’accélération est la dérivée par rapport au temps de la fonction donnant le vecteur vitesse du mobile, qui elle-même est la dérivée par rapport au temps de la fonction donnant le vecteur position du mobile. Si nous connaissons la vitesse et la position initiales du mobile et si son accélération est donnée par une fonction, nous pouvons donc trouver, par intégration, sa vitesse et sa position à n’importe quel instant.



Exercice 1
Un point matériel se déplace dans le plan. Son horaire est :

\vec r=\vec r_0+\vec v_0 t

avec \vec r_0=(12 m, -3 m) et \vec v_0=(0 m/s, 7 m/s). Dessinez le vecteur position et le vecteur vitesse du mobile de seconde en seconde pour 0 ≤ t ≤ 3 secondes.



Exercice 2
Un point matériel se déplace dans le plan. Son horaire est :

\vec r=\vec r_0+\vec v_0 t+\vec a_0 t^2
avec \vec r_0=(10 m, -2 m), \vec v_0=(3 m/s, 2 m/s) et \vec a_0=(-2 m/s^2, 1 m/s^2).
- a) Dessinez le vecteur position pour -2 ≤ t ≤ 2 secondes avec \Delta t=1s.
- b) Dessinez l’hodographe du mobile.
- c) Dessinez la trajectoire et le vecteur vitesse pour -2 ≤ t ≤ 2 secondes.


Exercice 3
Deux mobiles ont respectivement les horaires suivants :

\vec r_1=\vec r_{10}+\vec v_{10}t

avec \vec r_{10}=(20 m, -5 m) et \vec v_{10}=(-1 m/s, 5 m/s) et

\vec r_2=\vec r_{20}+\vec v_{20}t

avec \vec r_{20}=(8 m, 15 m) et \vec v_{20}=(2 m/s, 0 m/s).

Ces mobiles entreront-ils en collision ? Si oui, dites après combien de temps et indiquez où la collision se produit.


Exercice 4
Un point matériel a l’horaire suivant :

\vec r=\vec v_0 t+\vec a_0 t^2
avec \vec v_0=(4 m/s, 0 m/s) et \vec a_0=(-2 m/s^2, 1 m/s^2).

- a) A quel instant sa vitesse est-elle parallèle aux axes de coordonnées ?
- b) A quel instant sa vitesse a-t-elle une grandeur de 2 m/s ?


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