Moment cinétique

Théorème du moment cinétique. Conservation dans un champ de forces centrales
mercredi 23 mai 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%

Le moment cinétique joue un rôle très important en physique, tout particulièrement dans les problèmes d’interactions régies par des forces centrales. En effet, quelle que soit la nature d’une force subie par une particule, le moment cinétique de la particule est conservé si cette force est centrale.

Le moment cinétique $\vec L$, ou moment de la quantité de mouvement $m\vec v$ d’une particule dont le vecteur position est $\vec r$, joue en physique, un rôle primordial. Le moment cinétique d’une particule est le produit vectoriel de son vecteur position $\vec r$ par sa quantité de mouvement $m\vec v$ :

$\vec L= \vec r\times m\vec v$

Il se mesure en kgm2s-1.


Théorème du moment cinétique : la dérivée du moment cinétique d’un point matériel par rapport au temps est égale à la somme des moments de force qui s’exercent sur lui :

$\frac{d\vec L}{dt}=\vec r \times \vec F$


Démonstration : $\frac{d\vec L}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec r\times m\vec v)$. En utilisant la propriété de la dérivée d’un produit (f g)’ = fg + fg’, nous obtenons :

$\frac{d\vec r}{dt}\times m\vec v+\vec r \times m\frac{d\vec v}{dt}=\vec v \times m\vec v+\vec r \times m\vec a$

Le premier terme est nul (produit vectoriel de deux vecteurs parallèles) et le second n’est autre que le moment de la force résultante qui agit sur m.

Grâce à ce théorème, nous pouvons établir que le moment cinétique d’une particule qui se déplace dans un champ de forces centrales est conservé.

PNG - 4.3 ko
Mouvement dans un champ de forces centrales
En bleu, vecteur position, en vert vecteur vitesse de la particule. Le moment cinétique est conservé.


Exemple

Une comète se trouve initialement très loin du Soleil et a, relativement à lui, une vitesse $\vec {v}_0$. Le support de $\vec {v}_0$ passe à une distance D du Soleil. La masse m de la comète est très inférieure à celle du Soleil. Exprimez :

  • la vitesse $\vec v$ de la comète lorsque sa distance au Soleil est minimale
  • cette distance minimale d
  • l’angle de déviation 2$\alpha$ de la trajectoire.
PNG - 3.5 ko
Passage de la comète au périhélie
Lorsque la comète passe au périhélie, sa distance au Soleil est minimale et sa vitesse est maximale.

Les étapes du calcul

La comète ne subit que la force de gravitation du Soleil, qui est une force centrale. Donc son moment cinétique se conserve :

$L_1=L_2$
$mv_0D=mvd$
$v_0D=vd$

L’énergie mécanique se conserve aussi :

$E_1=E_2$
$\frac{1}{2}mv_0^2+0=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{d}$
$v_0^2=v^2-2\frac{GM}{d}$

Les équations $v_0D=vd$ et $v_0^2=v^2-2\frac{GM}{d}$ permettent de calculer v et d :

$d=\frac{v_0D}{v}$
$v=\frac{GM\pm\sqrt{G^2M^2+v_0^4D^2}}{v_0D}$

La racine est manifestement supérieure à GM. Le signe – conduit donc à une valeur négative de v qui est à rejeter. La vitesse maximale de la comète est donc :

$v=\frac{GM+\sqrt{G^2M^2+v_0^4D^2}}{v_0D}$

Les relations $v_0D=vd$ et $v=\frac{GM+\sqrt{G^2M^2+v_0^4D^2}}{v_0D}$ permettent d’obtenir d :

$d=\frac{\sqrt{G^2M^2+v_0^4D^2}-GM}{v_0^2}$

La trajectoire de la comète est une branche d’hyperbole dont le Soleil occupe un foyer.

PNG - 3.6 ko
Trajectoire hyperbolique (en bleu)
Le Soleil occupe le foyer F de l’hyperbole de demi-axes a et b.

L’équation de l’hyperbole est :

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

a et b sont les demi-axes. La distance du centre de la courbe au foyer est e qui satisfait la relation $e^2=a^2+b^2$. La distance minimale d de la comète au soleil est :

$e-a=\frac{r-GM}{v_0^2}$

Le support de $\vec{v}_0$ est une des asymptotes. La distance du foyer à l’asymptote est égale à b. Donc b=D. Pour toute hyperbole, on peut écrire :

$b^2=(e+a)(e-a)$ ou $e+a=\frac{b^2}{e-a}$

On en déduit, d’après les relations $e-a=\frac{r-GM}{v_0^2}$ et b=D :

$e+a=D^2\frac{v_0^2}{r-GM}=\frac{D^2v_0^2(r+GM)}{(r-GM)(r+GM)}=\frac{D^2v_0^2(r+GM)}{G^2M^2+v_0^4D^2-G^2M^2}$
$e+a=\frac{r+GM}{v_0^2}$

À partir de cette dernière relation et de $e-a=\frac{r-GM}{v_0^2}$, on obtient :

$e=\frac{\sqrt{G^2M^2+v_0^4D^2}}{v_0^2}$ et $a=\frac{GM}{v_0^2}$

On trouve donc, pour les demi-axes de l’hyperbole les expressions remarquablement simples :

$a=\frac{GM}{v_0^2}$ et $b=D$

On a en outre $tg\alpha=\frac{b}{a}=\frac{v_0^2D}{GM}$ et l’angle formé par les portions de trajectoire très éloignées du Soleil est égal à l’angle des asymptotes et vaut 2 α.


Documents joints

Comete.pdf