Moment d’inertie total

Addition de moments d’inertie
mardi 29 novembre 2005
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Lorsqu’on applique la relation fondamentale de la dynamique au cas de la rotation d’un solide rigide, il faut considérer le moment d’inertie de toutes les masses en rotation.

Exercice

Un cylindre homogène de rayon r=10 cm et de masse m=1 kg peut tourner autour de son axe de révolution horizontal Z. Il soutient un solide S de masse M=10 kg par l’intermédiaire d’une corde enroulée sur le cylindre. Le cylindre est traversé, suivant un diamètre, par une tige t portant à ses extrémités deux masses égales de valeur m’=0.5 kg, pratiquement confondues avec leur centre de gravité situés à l=50 cm de l’axe Z. Le système est abandonné à lui-même sans vitesse initiale. Calculez, en négligeant les masses de la corde et de la tige t ainsi que les résistances passives :
a) l’accélération linéaire a du mouvement de S et la tension T de la corde pendant ce mouvement ;
b) le nombre n de tours effectués par le cylindre depuis le départ jusqu’au moment où la corde quitte le cylindre, sachant que la masse M est alors descendue de h=5 m ;
c) la vitesse angulaire $\omega$ du cylindre à ce moment là.

Solution

a) L’accélération angulaire $\alpha$ d’un cylindre de masse M, de rayon r et de moment d’inertie I tournant autour de son axe de symétrie est donnée par :

$\alpha=\frac{Mg}{Mr+\frac{I}{r}}$

Ici, $I=I_{cylindre}+I_{m’}=\frac{mr^2}{2}+2m’l^2=0.26$ kgm2 est le moment d’inertie total du système. L’accélération linéaire vaut donc :

$a=\alpha r=2.82$ m/s2

b) La circonférence du cylindre vaut $2\pi r$. Comme la hauteur de chute vaut 5 m, nous pouvons écrire, pour le nombre de tours :

$n=\frac{5}{2\pi r}=7.96$ tours

c) Pour trouver la vitesse angulaire $\omega$, nous utilisons la relation $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$. Comme l’accélération angulaire est constante, nous pouvons écrire $\omega=\alpha t$. Or le temps nécessaire pour parcourir une distance h=5 m d’un mouvement uniformément accéléré vaut $t=\sqrt{\frac{2h}{a}}$, donc :

$\omega =\alpha t=\alpha\sqrt{\frac{2h}{a}}=53.05$ rad/s