Rotation d’une bille sur un rail

Accélération de la bille en fonction de son moment d’inertie
samedi 25 janvier 2014
par  Bernard Vuilleumier
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Théorie

Une bille roulant sur un rail incliné subit trois forces : son poids $m\vec g$, une force de frottement $\vec F$ et une force de soutien $\vec N$ normale au plan. En projetant ces forces sur un axe parallèle au plan et en faisant usage de la relation fondamentale de la dynamique :

$\Sigma\vec F=m\vec a$

on obtient la grandeur de l’accélération du centre de masse (équation 1) :

$a=gsin\theta-\frac{F}{m}$

L’accélération angulaire $\alpha=\frac{a}{r}$ de la bille s’obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique appliquée aux corps solides en rotation :

$\Sigma M=I\alpha$

où $\Sigma M$ est la somme des moments de force qui agissent sur la bille et $I$ le moment d’inertie de la bille. La seule force dont le moment n’est pas nul est $\vec F.$ La relation ci-dessus s’écrit donc (équation 2) :

$Fr=I\alpha$

En éliminant la force de frottement entre l’équation 1 et l’équation 2, on peut exprimer l’accélération a de la bille en fonction de son rayon r, de son moment d’inertie I, de l’accélération du lieu g et de l’angle d’inclinaison θ du rail :

$a=\frac{mr^2gsin\theta}{mr^2+I}$

Cette expression se simplifie par m. L’accélération de la bille ne dépend pas de sa masse.

$a=\frac{r^2gsin\theta}{r^2+\frac{2}{5}R^2}$

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