Addition des vitesses

Relativité restreinte
mardi 22 novembre 2005
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En relativité restreinte, comme la vitesse de la lumière c ne peut pas être dépassée, la loi d’addition des vitesses doit être modifiée.

En bref

Considérons un système de référence ∑’ se déplaçant à la vitesse relative vr par rapport à un autre système ∑. On tire une balle à la vitesse v’ dans ∑’. Comment obtenir la vitesse v de la balle dans ∑ ?
En cinématique classique, la vitesse v de la balle dans ∑ s’obtient simplement en additionnant la vitesse relative de ∑’ à la vitesse de la balle :

v = v’ + vr

En cinématique relativiste, comme la vitesse de la lumière c ne peut pas être dépassée, la loi d’addition des vitesses doit être modifiée. Elle s’obtient à partir de la transformation de Lorentz et s’exprime de la manière suivante :

$v=\frac{v’ + v_r}{1+\frac{v’v_r}{c^2}}$

Objectifs

• obtenir la loi d’addition des vitesses en cinématique relativiste en utilisant la transformation de Lorentz
• savoir utiliser cette loi dans diverses situations
• être capable d’interpréter différentes représentations graphiques de $\beta$ en fonction de $\beta’$ et $\beta_r$.

Activités

Etablissez la loi d’addition des vitesses en cinématique relativiste en parcourant les étapes suivantes :

  1. Exprimez la vitesse de la balle dans $\Sigma’$
  2. Exprimez la vitesse de la balle dans $\Sigma$
  3. Utilisez la transformation de Lorentz pour exprimer $\Delta x$ et $\Delta t$ à l’aide de $\Delta x’$ et $\Delta t’$
  4. Formez le quotient $\frac{\Delta x}{\Delta t}$, posez $\beta_r =\frac{v_r}{c}$ et simplifiez par $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v_r}{c}})^2}$
  5. Simplifiez l’égalité obtenue sous 4 par $\Delta t’$, posez $\frac{\Delta x}{\Delta t}=\beta$ et $\frac{\Delta x’}{\Delta t’}=\beta’$ et vous aurez la loi d’addition recherchée !


Exercice

1. Une balle est tirée à la vitesse $\beta’= 0.75$ à partir d’un mobile se déplaçant à la vitesse $\beta_r= 0.75$. Calculez la vitesse $\beta$ de la balle par rapport au laboratoire. La balle et le mobile se déplacent selon une direction commune.
2. Une particule se déplace dans un accélérateur à une vitesse égale à 0.9 c lorsqu’elle se désintègre en émettant un photon dans la direction de son déplacement. Calculez la vitesse du photon par rapport au laboratoire :
a) lorsque le photon émis se déplace dans le même sens que la particule
b) lorsque le photon émis se déplace dans un sens opposé au déplacement de la particule.
Comment ces résultats sont-ils modifiés si la particule se déplace à une vitesse égale à 0.1 c avant de se désintégrer ?
3. Représentez graphiquement la vitesse $\beta$ en fonction de $\beta’$ pour différentes valeurs de $\beta_r$ (0.2, 0.4, 0.6, 0.8 et 1).
4. Utilisez une représentation en 3 dimensions en reportant $\beta’$ selon l’axe x, $\beta_r$ selon l’axe y et $\beta$ selon l’axe z.


Voir aussi : Russell’s Thought Experiment in Special Relativity from Wolfram Demonstrations Project


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi


Commentaires  forum ferme

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lundi 3 décembre 2007 à 18h08 - par  Lionel

Bonsoir,

Aurons-nous droit aux calculettes programmables durant l’épreuve ?

Merci d’avance

Logo de Bernard Vuilleumier
dimanche 2 décembre 2007 à 22h23 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Non. c’est faux, vous devez utiliser la loi relativiste d’addition des vitesses. Ce qui est demandé c’est de représenter la vitesse β de la balle dans le référentiel Σ en fonction de βr connaissant la vitesse β’ à laquelle elle est tirée dans Σ’. Vous pouvez donc considérer βr comme un paramètre à faire varier dans un « Table » par exemple :

Logo de Bernard Vuilleumier
dimanche 2 décembre 2007 à 22h02 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Ce n’est pas une question piège car le résultat obtenu en utilisant la formule d’addition des vitesses est le même que celui que vous déduisez de votre raisonnement.

Logo de Antonio
dimanche 2 décembre 2007 à 19h19 - par  Antonio

Bonsoir,

A moins que je me trompe,

Pour l’exercice 3,

On a 2 inconnues dans 1 équation (celle de l’addition des vitesses).

Pour réduire à une variable, j’utilise :

$ \beta_{r} = \beta’ - \beta $

Est-ce correct ?

Logo de Antonio
dimanche 2 décembre 2007 à 19h15 - par  Antonio

Bonsoir,

L’exercice 2 est-il une question-piège ?

Si on se base sur le second postulat :

La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels d’inertie. Elle ne dépend pas du mouvement de la source ou de l’observateur.

On peut dire que la vitesse du photon est la même quoi qu’il arrive $ \beta = 1 $ ?