Bobines de Helmholtz

Loi de Biot-Savart
lundi 6 février 2006
par  Bernard Vuilleumier
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La configuration « bobines de Helmholtz » est l’association de deux bobines plates identiques séparées par une distance égale à leur rayon sur leur axe commun et montées en série pour que les champs magnétiques s’ajoutent. Le calcul du champ sur l’axe peut s’obtenir à partir de la loi de Biot-Savart. On calcule le champ produit par une bobine plate en un point de son axe à une distance x. Le champ sur l’axe au centre des bobines de Helmholtz est la somme des champs créés par chaque bobine à la distance x=R/2.

Pour calculer le champ magnétique produit par des bobines de Helmholtz, nous partons de la formule de Biot-Savart qui ramène formellement le calcul de $\vec{B}$ à la sommation vectorielle des champs $d\vec{B}$ produits par des éléments de courant $Id\vec{s}$. Cette formule donne les éléments de vecteur $d\vec{B}$ correspondant aux différentes portions du conducteur. Par addition vectorielle de ces éléments, on obtient le champ $\vec{B}$ au point P.

$d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}$

[Graphics:HTMLFiles/169_9.gif]

Champ résultant au point $\vec{B}$

Considérons un conducteur en forme de spire parcouru par une courant I. Dessinons les éléments de vecteur $d\vec{B}$ en un point de l’axe de cette spire. Ces éléments sont produits par les différentes portions du conducteur. Formons le champ $\vec{B}$ résultant en additionnant vectoriellement ces éléments :

Voir l’animation interactive

Champ $\vec{B}$ créé par une bobine plate sur son axe

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre $d\vec{s}$ et $\vec{r}$ est un angle droit. La grandeur de $d\vec{B}$ vaut donc :

$\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}$

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec{B}$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de $d\vec{B}$ selon Ox :

$dB_x={dB sin\alpha=dB\frac{R_{bobine}}{r}}={\frac{\mu_0 I R_{bobine}}{4\pi}\frac{ds}{r^3}}$

En additionnant toutes les portions ds du conducteur (intégrale de ds sur la boucle) on obtient la circonférence $2\pi R_{bobine}$ de la boucle. La grandeur du champ résultant $\vecB$ vaut donc, si la bobine comporte N spires :

$B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{r^3}$

En exprimant r à l’aide de $R_{bobine}$ et de x, on obtient :

$r={\sqrt{R^2_{bobine}+x^2}}$

$B={\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{(R^2_{bobine}+x^2)^\frac{3}{2}}}$

Champ $\vec{B}$ créé au milieu de bobines de Helmholtz

La configuration « bobines de Helmholtz » est l’association de deux bobines plates identiques séparées par une distance égale à leur rayon sur leur axe commun et montées en série pour que les champs magnétiques s’ajoutent. Le champ sur l’axe au centre de ce dispositif est la somme des champs créés par chaque bobine à la distance $x={\frac{R_{bobine}}{2}}$. En substituant x par cette valeur dans l’expression ci-dessus et en multipliant le résultat par deux, on obtient le champ sur l’axe au centre des bobines de Helmholtz :

$B={\frac{8\mu_0 N I}{5\sqrt{5}R_{bobine}}}$


Documents joints

Champ obtenu par sommation vectorielle

Commentaires  forum ferme

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mercredi 4 juillet 2012 à 11h55 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,
Si les bobines sont parcourues par des courants de sens contraires, il n’y a aucun calcul à faire ! Quelle que soit l’intensité du courant, le champ magnétique au centre du dispositif est nul. Vous pouvez consulter la jolie simulation ci-dessous pour voir le champ créé par chaque bobine ainsi que le champ résultant.
http://www.discip.ac-caen.fr/phch/lycee/premiere/helmholtz/helmholtz.htm

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mercredi 4 juillet 2012 à 03h18 - par  tawfik

Bonjour,
dans le cadre de mon stage , je dois calculer le courant de manière à avoir un champs magnetique nul au centre de mon dispositif . j’ai à faire à des bobines d’helmotz séparé entre elles d’une distance égale au rayon R. Les courants sont de sens opposés. quelq’un pourrait il m’éclairer ?

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jeudi 21 février 2008 à 23h54 - par  Jérémie Jaccard

Bonjour,

Merci pour cette précision je m’efforcerais d’arriver avant 9 heures du matin.

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jeudi 21 février 2008 à 23h32 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

J’ai effectivement constaté des problèmes de lecture des séquences animées avec les dernières versions de Safari. Essayez avec Firefox !

À demain (le cours débute à 8 h !)

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jeudi 21 février 2008 à 23h25 - par  Jérémie Jaccard

Bonjour,

J’aurait voulu savoir s’il était normal que l’animation ne soit pas "lisible". Il n’y a qu’un espace blanc là ou aurait du figurer l’animation. Sans cette animation il m’est difficile de comprendre les explications suivantes.
(J’utilise pourtant Safari comme navigateur)

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jeudi 24 janvier 2008 à 20h27 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

- Le vecteur violet est la résultante des vecteurs bleus. Chaque vecteur bleu est la contribution d’un élément de conducteur au champ magnétique.
- Le rayon r est la distance entre l’élément de conducteur et le point où l’on examine sa contribution au champ magnétique (regardez la première figure de l’article, ce vecteur y figure).
- La démarche est indiquée en fin d’article : le champ sur l’axe au centre du dispositif de Helmholtz est la somme des champs créés par chaque bobine à une distance x égale au demi rayon des bobines.

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jeudi 24 janvier 2008 à 17h38 - par  Florian

Bonjour, pourriez-vous m’éclairer sur quelques points.

- Lorsque vous dîtes : Seule la composante selon Ox contribue au champ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent).

La composante selon Ox est-elle représentée par le vecteur violet ou le(s) vecteur(s) bleu(s) dans l’animation qui précède ?

- Le rayon (r), que vous exprimez à l’aide du rayon de la bobine et de x. Je ne vois pas de quel rayon il s’agit.

- Je n’arrive pas à trouver le dernier résultat que vous obtenez.

Merci d’avance.