Circuit électrique et oscillateur harmonique

Équations différentielles décrivant des oscillations amorties
dimanche 21 mai 2006
par  Bernard Vuilleumier
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La décharge d’un condensateur de capacité C sur une bobine d’inductance L en série avec une résistance R est un phénomène où intervient un renversement périodique du courant analogue à la vibration mécanique d’un oscillateur harmonique. Le principe de conservation de l’énergie permet de traiter en parallèle les deux oscillateurs. Si W est l’énergie totale contenue dans chaque système - sous forme électrique et magnétique pour l’oscillateur électrique, potentielle et cinétique pour l’oscillateur mécanique - il suffit d’exprimer que la variation d’énergie au cours du temps est égale à l’énergie dissipée par les frottements pour obtenir les équations différentielles de ces deux systèmes.

- Oscillateur mécanique

Considérons un oscillateur harmonique constitué d’une masse m accrochée à un ressort de raideur k. Désignons par x l’écart entre la position d’équilibre et la position de la masse. La force de rappel exercée par le ressort sur la masse vaut alors :

$\vec{F}=-k\vec{x}$

L’énergie potentielle élastique du ressort est donnée par :

$E_{pot}=\frac{1}{2}k x^2$

Et l’énergie cinétique de la masse par :

$E_{cin}=\frac{1}{2}m \dot{x}^2$

L’énergie totale de l’oscillateur harmonique mécanique vaut donc :

$W=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}m \dot{x}^2$

Si l’oscillateur est soumis à une force de frottement dont la grandeur est proportionnelle à la vitesse :

$F_{frott}=\mu\frac{dx}{dt}$

L’énergie dissipée par unité de temps vaudra :

$\frac{dW}{dt}=-F_{frott}\frac{dx}{dt}=-\mu\dot{x}\dot{x}$

L’équation différentielle de l’oscillateur mécanique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :

$\frac{dW}{dt}=k x\dot{x}+m\dot{x}\ddot{x}=-\mu\dot{x}\dot{x}$

- Oscillateur électrique

Dans un circuit électrique constitué d’une bobine d’inductance L, d’un condensateur de capacité C et d’une résistance R en série, c’est l’inductance L qui joue le rôle de la masse et c’est l’inverse de la capacité $\frac{1}{C}$ qui correspond à la raideur du ressort k. La charge Q portée par le condensateur correspond à l’écart par rapport à l’équilibre. Cette correspondance permet d’exprimer l’énergie potentielle électrique du condensateur :

$E_{\acute{e}lectrique}=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$

Ainsi que l’énergie magnétique dans la bobine :

$E_{magn\acute{e}tique}=\frac{1}{2}L\dot{Q}^2$

L’énergie totale de l’oscillateur électrique vaut donc :

$W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}+\frac{1}{2}L\dot{Q}^2$

Si le condensateur se décharge à travers une résistance R, la dissipation d’énergie (effet Joule) par unité de temps vaudra :

$\frac{dW}{dt}=-R I^2=-R\dot{Q}^2$

L’équation différentielle de l’oscillateur électrique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :

$\frac{dW}{dt}=\frac{1}{C}Q\dot{Q}+L\dot{Q}\ddot{Q}=-R\dot{Q}^2$

En simplifiant et en regroupant tous les termes dans le même membre, nous obtenons finalement les équations différentielles suivantes :

Cas mécaniqueCas électrique
Énergie totale $W=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}m \dot{x}^2$ $W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}+\frac{1}{2}L\dot{Q}^2$
Variation $\frac{dW}{dt}=k x\dot{x}+m\dot{x}\ddot{x}$ $\frac{dW}{dt}=\frac{1}{C}Q\dot{Q}+L\dot{Q}\ddot{Q}$
Dissipation $\frac{dW}{dt}=-\mu\dot{x}\dot{x}$ $\frac{dW}{dt}=-R\dot{Q}^2$
Équation différentielle $m\ddot{x}+\mu\dot{x}+k x=0$ $L\ddot{Q}+R\dot{Q}+\frac{1}{C} Q=0$

Activités
- Résolvez symboliquement ces équations à l’aide de Mathematica.
- Dessinez les cartes Stella correspondant à ces équations.
- Intégrez numériquement ces équations.

Oscillateur mécaniqueOscillateur électrique
m=1 kg L=10 Hy
μ=0.1 kg/s R=10 Ω
k=20 N/m C=10 μF
x0=0.2 m Q0=1 mC
v0=0 m/s I0 =0 A

- Représentez graphiquement en fonction du temps :

  • la position et la vitesse pour l’oscillateur mécanique
  • la charge et le courant pour l’oscillateur électrique.

- Donnez la période d’oscillation dans chaque cas.