Comment obtenir la transformation de Lorentz Démarche adoptée par Einstein

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

La transformation de Lorentz permet, lorsqu’on connaît les coordonnées (x, t) d’un événement dans un système de référence Σ, d’obtenir les coordonnées (x’, t’) de cet événement dans un autre système Σ’ en mouvement rectiligne uniforme par rapport à Σ. Cette transformation peut être obtenue à l’aide du seul postulat fondamental de la relativité restreinte : la lumière se propage toujours dans le vide avec une certaine vitesse indépendante de l’état de mouvement de la source lumineuse. Nous présentons ici la démarche adoptée par Einstein [1] pour obtenir ces coefficients.

(1) Un signal lumineux qui avance selon l’axe x dans Σ se propage à vitesse constante d’après l’équation x = ct, ou :

{x-ct}=0

(2) Puisque le même signal se propage aussi avec la vitesse c dans un autre système Σ’ en translation uniforme par rapport à Σ, la propagation relativement à Σ’ sera donnée par :

x’-ct’=0

(3) Les points de l’espace temps qui satisfont l’équation (1) doivent aussi satisfaire l’équation (2). C’est le cas si la relation suivante est satisfaite :

{x’-ct’}={\lambda(x-ct)}

(4) Dans la relation (3), λ désigne une constante et si x - ct s’annule, cela entraîne que x’ - ct’ s’annule aussi. Une considération analogue appliquée à un signal se propageant dans l’autre sens fournit la condition :

x’+ct’=\mu(x+ct)

Par l’addition ou la soustraction des équations (3) et (4), où pour des raisons de simplification nous introduisons, au lieu des constantes λ et μ, les constantes :

a=\frac{\lambda+\mu}{2} et b=\frac{\lambda-\mu}{2}

(5) nous obtenons :

x’ = ax - bct
ct’ = act - bx

Le problème serait résolu si les constantes a et b étaient connues. Nous les obtenons à partir des considérations suivantes : pour l’origine du système Σ’, nous avons d’une manière permanente x’ = 0 et par conséquent, d’après la première des équations (5) :

x = \frac{bc}{a}t

(6) En désignant par v la vitesse à laquelle l’origine de Σ’ se meut relativement à Σ, nous avons :

v = \frac{bc}{a}

D’après le principe de relativité, la longueur, dans le système Σ, d’une règle unité qui est au repos relativement à Σ’ doit être exactement la même que celle, dans Σ’, d’une règle unité qui est au repos relativement à Σ. Pour voir comment se présentent, dans Σ, les points de l’axe x’, nous prenons un « instantané » de Σ’. Cela signifie que nous devons introduire pour t (temps de Σ) une valeur déterminée, par exemple t = 0. De la première des équations (5), nous obtenons, pour cette valeur de t :

x’ = ax

(7) Deux points de l’axe des x’, qui sont séparés par la distance x’ = 1, mesurée dans Σ’, sont séparés sur notre instantané par la distance :

x = \frac{1}{a}

Pour voir comment se présentent, dans Σ’, les points de l’axe x, nous prenons un « instantané » de Σ. Nous choisissons t’ = 0. Nous obtenons en éliminant t de (5) et en tenant compte de (6) :

x’ = a(1-\frac{v^2}{c^2})x

(7a) Nous en concluons que deux points de l’axe des x séparés par la distance x = 1, sont distants, sur l’instantané de :

x’ = a(1-\frac{v^2}{c^2})

(7b) D’après le principe de relativité, les deux instantanés doivent être identiques. Nous avons donc :

a^2 = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}

Les équations (6) et (7b) déterminent les constantes a et b. En portant les valeurs de ces constantes dans (5), nous obtenons la transformation de Lorentz pour des événements sur l’axe des x :

x’ = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

t’ = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

L’extension de ce résultat à des événements qui ont lieu en dehors de l’axe x est obtenue en ajoutant les relations :

y’ = y

z’ = z

[1Voir : Einstein, La relativité, Petite Bibliothèque Payot, Paris,1976.