Diagramme d’espace-temps

Systèmes inertiels, lois physiques et représentation d’événements
vendredi 3 novembre 2006
popularité : 3%

Source : À la découverte de l’espace temps et de la physique relativiste, E. F. Taylor et J. A. Wheeler, Dunod, Paris 1970.

Le concept fondamental de la relativité restreinte est l’événement. Un événement est défini par le lieu et par l’instant où il se produit. Ces coordonnées diffèrent selon le système de référence inertiel utilisé pour repérer l’événement. Mais il existe une grandeur qui conserve la même valeur dans tous les référentiels inertiels : c’est l’intervalle entre deux événements.

Système de référence inertiel
Nous avons défini les systèmes de référence inertiels en disant que dans ces systèmes, la première loi de Newton qui affirme qu’une particule libre au repos reste au repos et une particule libre en mouvement poursuit ce mouvement sans changer de vitesse ni de direction, est vérifiée. Il existe d’autres lois en mécanique, et on peut constater expérimentalement qu’elles restent vérifiées dans tout système de référence inertiel. Il n’a jamais été possible de trouver la moindre exception au principe suivant :

Toutes les lois de la physique restent les mêmes dans n’importe quel système de référence inertiel.

Cet énoncé porte le nom de principe de la relativité. Ce principe affirme que la forme des lois de la physique et la valeur numérique des constantes physiques qui interviennent dans ces lois restent les mêmes dans tout système de référence inertiel.

Remarquons que le principe de relativité ne dit pas que le temps qui s’écoule entre deux événements paraîtra forcément le même quand il sera mesuré dans deux systèmes de référence inertiels différents. Il ne dit pas non plus que l’écart entre deux événements mesuré dans l’espace sera le même dans les deux systèmes. En général, ni les temps ni les distances ne seront identiques dans deux systèmes différents. Il en résulte par exemple que la quantité de mouvement d’une particule donnée prend des valeurs différentes dans des systèmes différents. Sa dérivée par rapport au temps varie aussi en général d’un système à l’autre. Il en est de même des forces. Deux observateurs en mouvement relatif qui étudient le mouvement d’une particule chargée ne trouvent donc pas nécessairement les mêmes valeurs pour les champs électriques et magnétiques qui agissent sur elle. La force résultante produite par la combinaison des deux champs variera d’un système de référence inertiel à l’autre.

La physique qui paraît différente d’un système à l’autre reste cependant la même. Les quantités physiques des deux systèmes prennent des valeurs différentes mais obéissent à des lois identiques. La dérivée de la quantité de mouvement en fonction du temps ne prend pas la même valeur dans les deux systèmes. Mais cette dérivée dans un système est toujours égale à la force totale mesurée dans ce système (seconde loi de Newton).

Ce ne sont pas seulement les lois de la mécanique mais aussi celles de l’électromagnétisme et toutes les autres lois physiques qui restent vraies dans n’importe quel système de référence inertiel. Par conséquent, les lois physiques ne permettent pas de distinguer un système de référence inertiel d’un autre.

Les lois de l’électromagnétisme restent les mêmes dans tous les référentiels inertiels. Selon le principe de relativité, la valeur numérique des constantes physiques qui apparaissent dans ces lois doit aussi conserver la même valeur dans tous les référentiels inertiels. Or la vitesse de la lumière est l’une des constantes qui apparaissent dans ces lois. L’expérience a-t-elle vérifié cette proposition ? La réponse est oui.

Représentation d’événements
Nous utiliserons en relativité restreinte les diagrammes d’espace temps pour représenter les événements. Ces diagrammes sont l’équivalent des horaires de la mécanique classique. Ils donnent une localisation dans l’espace et le temps.

PNG - 1.5 ko
Diagramme d’espace temps
Chaque point représente un événement donné par une coordonnée d’espace x en abscisse et une coordonnée temporelle t en ordonnée.

Dans ce système de référence, les événements se trouvant sur une ligne sont simultanés mais se produisent en des lieux différents et ceux se trouvant sur une colonne se produisent au même endroit en des temps différents.

Supposons qu’au temps t=0, une source émet de la lumière :

PNG - 1.8 ko
Représentation d’une émission lumineuse
Au temps t=0 se produit une émission lumineuse. La lumière se propage selon l’axe x à vitesse constante. Durant chaque intervalle de temps, elle franchit la même distance.

Pour observer la propagation des photons (grains de lumière), nous disposons des détecteurs régulièrement espacés sur l’axe x. Lorsqu’ un photon traverse un détecteur celui-ci enregistre le temps de passage : la position du détecteur et ce temps de passage définissent un nouvel événement. En relativité, lorsque nous parlons d’observateur, nous commettons un abus de langage. Le mot observateur est une abréviation qui désigne l’ensemble des détecteurs liés à un système de référence inertiel, ou alors l’expérimentateur qui est chargé de relever les enregistrements d’événements des détecteurs d’un domaine.

Lignes d’univers
Les demi-droites donnant la position des photons en fonction du temps dans le diagramme d’espace temps sont appelées lignes d’univers. Chaque détecteur rencontré par un photon enregistre le temps de la coïncidence. La ligne d’univers d’un photon peut donc être considérée comme formée de tous ces événements de coïncidence.

PNG - 2.4 ko
Lignes d’univers des photons émis par la source
Les demi-droites donnant la position des photons partant vers la gauche et vers la droite en fonction du temps sont appelées lignes d’univers.

Selon le principe de relativité, la valeur numérique des constantes physiques reste la même dans tous les référentiels inertiels. Il en résulte que les lignes d’univers des photons auront la même pente dans tous les diagrammes d’espace temps, quel que soit le référentiel inertiel utilisé pour les établir.

Les diagrammes de la source lumineuse observée dans le laboratoire et depuis un référentiel en translation rectiligne uniforme selon Ox auront l’aspect suivant :

PNG - 2.7 ko
Diagrammes d’espace-temps d’une source lumineuse
Une source lumineuse immobile dans le laboratoire est observée depuis un autre référentiel inertiel Σ’ en translation selon Ox. Au temps t=0, les origines des deux systèmes coïncident et la source émet des photons. Les lignes d’univers des photons ont la même pente dans les deux systèmes.

On peut constater que des événements simultanés dans le référentiel Σ du laboratoire ne sont plus simultanés dans le référentiel mobile Σ’. En revanche, conformément au principe de relativité, la vitesse des photons est la même dans les deux référentiels :


Intervalle
Les points qui apparaissent dans les deux diagrammes d’espace-temps se rapportent aux mêmes événements, mais les coordonnées de ces événements sont différentes dans les deux systèmes. Il existe en revanche une grandeur qui conserve la même valeur dans les deux diagrammes d’espace-temps : c’est l’intervalle entre deux événements qui est défini par l’équation :

$\Delta t^2-\Delta x^2=constante=intervalle^2$

Il en résulte qu’un événement qui figure sur l’hyperbole d’équation :

$t^2-x^2=constante$

du diagramme d’espace temps d’un système Σ figurera sur une hyperbole de même équation dans le diagramme d’espace-temps de n’importe quel autre système et qu’il sera toujours séparé de l’origine par le même intervalle.

Conclusion
Le seul principe de la relativité, qui affirme que les lois physiques ainsi que la valeur numérique des constantes qui interviennent dans ces lois restent les mêmes dans tout référentiel inertiel, permet de trouver la transformation mathématique (transformation de Lorentz) qui décrit le passage d’un système de référence inertiel à un autre ainsi que la grandeur invariante (intervalle) lors de cette transformation.


Documents joints

Spacetime Physics
Exercices pp. 60-80
Exercices pp. 81-100
Corrigé des exercices

Commentaires  forum ferme