Différentes expressions de la transformation de Lorentz

Comment simplifier l’expression de la transformation de Lorentz
samedi 29 octobre 2005
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L’expression de la transformation de Lorentz se simplifie si on utilise les mêmes unités pour mesurer les distances et le temps. Elle prend alors une forme symétrique plus facile à mémoriser.


Démontrons que la transformation de Lorentz exprimée par :

est équivalente à l’expression ci-dessous si le temps est mesuré en mètre.

Désignons le temps par t_s lorsqu’il est donné en seconde et utilisons la lettre t lorsqu’il est donné en mètre. La première expression de la transformation s’écrit alors :

Si nous exécutons le produit matriciel, nous obtenons :

Pour démontrer que les égalités (1) et (2) sont équivalentes à la deuxième expression de la transformation de Lorentz lorsque t est mesuré en m, nous utilisons la relation suivante :

t = ct_s

Nous remplaçons donc t_s dans (1) par t/c :

Et nous écrivons, pour (2) :

En remplaçant v/c par β et ct_s par t dans ces deux dernières égalités, nous obtenons :

Ce qui peut s’écrire :

cqfd. Cette expression peut encore se simplifier en posant γ =  :