Relativité
Différentes expressions de la transformation de Lorentz
Comment simplifier l’expression de la transformation de Lorentz

Simplification de l’expression de la transformation de Lorentz.

Article mis en ligne le 29 octobre 2005
dernière modification le 8 novembre 2017

L’expression de la transformation de Lorentz se simplifie si on utilise les mêmes unités pour mesurer les distances et le temps. Elle prend alors une forme symétrique plus facile à mémoriser.


Démontrons que la transformation de Lorentz exprimée par :

est équivalente à l’expression ci-dessous si le temps est mesuré en mètre.

Désignons le temps par t_s lorsqu’il est donné en seconde et utilisons la lettre t lorsqu’il est donné en mètre. La première expression de la transformation s’écrit alors :

Si nous exécutons le produit matriciel, nous obtenons :

Pour démontrer que les égalités (1) et (2) sont équivalentes à la deuxième expression de la transformation de Lorentz lorsque t est mesuré en m, nous utilisons la relation suivante :

t = ct_s

Nous remplaçons donc t_s dans (1) par t/c :

Et nous écrivons, pour (2) :

En remplaçant v/c par β et ct_s par t dans ces deux dernières égalités, nous obtenons :

Ce qui peut s’écrire :

cqfd. Cette expression peut encore se simplifier en posant γ =  :