Électromagnétisme

Option spécifique « Physique-Applications des mathématiques »
lundi 14 avril 2008
par  Bernard Vuilleumier
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Exercice 1

  1. Établissez l’expression permettant de calculer la longueur d’un arc de grand cercle reliant deux points situés sur une sphère de rayon r et dont les latitudes θ et longitudes φ sont connues.
  2. Calculez la longueur d’un arc de grand cercle reliant les deux villes ci-dessous en supposant que la Terre est une sphère de 6371 km de rayon.
  • Ville 1 : 55° 57’ N, 3° 11’ O.
  • Ville 2 : 25° 44’ S, 28° 11’ E.

Exercice 2
Vous mesurez le courant I qui parcourt un fil de fer de longueur l et de diamètre Φ en fonction de la tension U à laquelle il est soumis et vous obtenez les résultats suivants :

Données numériques : l = 1.02 ±0.01 m, Φ= 0.152 ± 0.001 mm. Calculez :

  1. La résistance et la résistivité du fil lorsque la tension vaut 1 V.
  2. La résistance et la résistivité du fil lorsque la tension vaut 11 V.
  3. L’écart de température du fil entre ces deux tensions sachant que le coefficient de température de la résistivité du fer vaut 6.5 × 10-3 K-1.

Exercice 3
Vous mesurez le rayon r du cercle décrit par des électrons dans un champ magnétique $\vec B$. Le champ magnétique est produit par des bobines de Helmholtz de rayon R et elles comportent chacune N spires. Elles sont parcourues par un courant i. La grandeur B du champ produit au centre du dispositif de Helmholtz et auquel sont soumis les électrons est donnée par :

$ B=\frac{8\mu _0 Ni}{5\sqrt{5}R}$

En reportant le rayon r du cercle décrit par les électrons en fonction de l’inverse du courant i qui parcourt les bobines, vous obtenez le graphique suivant lorsque les particules ont été accélérées par une tension de 250 V :

  1. Exprimez puis calculez le nombre N de spires que comporte chaque bobine.
  2. Estimez l’incertitude sur ce nombre de spires sachant que l’incertitude sur le rayon des bobines vaut 0.5 cm, celle sur la tension d’accélération 10 V et celle sur la pente 3 × 10-3 m × A. Donnée : R = 15 cm.

Exercice 4
Un condensateur de capacité C = 5 μF est monté en série avec une résistance R = 200 kΩ, un générateur de tension U0 = 12 V et un interrupteur (fermé) dans un circuit.

  1. Faites un schéma de ce montage.
  2. Complétez le schéma pour permettre la décharge du condensateur lorsqu’on ouvre l’interrupteur.
  3. Établissez les équations différentielles donnant la loi de charge et la loi de décharge de ce condensateur en utilisant la loi de Kirchhoff qui affirme que la somme des tensions est nulle le long de toute maille d’un circuit.
  4. Donnez les solutions particulières de ces équations différentielles correspondant aux conditions initiales retenues (qui sont à préciser).
  5. Etablissez les graphiques de ces solutions pour t variant de 0 (ouverture ou fermeture de l’interrupteur) à 4 s.
  6. Que vaut la constante de temps du circuit ?

Exercice 5

  1. Etablissez, en partant de la loi de Biot et Savart et en expliquant chaque étape, l’expression du champ magnétique B créé par une bobine de N spires de rayon R à une distance x de son centre mesurée sur l’axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la bobine.
  2. Comment passe-t-on de l’expression du champ magnétique B créé par une bobine de N spires de rayon R à une distance x de son centre mesurée sur l’axe passant par ce centre et perpendiculaire au plan de la bobine à celle donnant le champ magnétique B au centre d’une configuration de Helmholtz ?
  3. Exprimez la grandeur du champ magnétique B sur l’axe de deux bobines de rayon R et comportant chacune N spires lorsqu’elles sont parcourues par un courant i et séparées par une distance d = 2R. Etablissez le graphique donnant la grandeur du champ magnétique B en fonction de x (l’origine est au milieu du segment reliant les centres des bobines), pour x variant de -15 à +15 cm.
    Données : R = 6 cm, N = 160, i = 3 A, μ0 = 4π 10-7 VsA-1m-1.
  4. Indiquez le sens de parcours du courant dans chaque bobine ainsi que la direction et le sens du champ B entre les bobines.

Résultats


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