Énergie relativiste

Énergies cinétique, de masse et totale. Champ électrique. Accélération de particules
vendredi 9 février 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%

- Champ : Particules accélérées. Énergie relativiste.
- Documents autorisés : Aucun. Calculette.
- Vendredi 9 février 2007, CECNB, A1-A2, 95 min.
- Moyenne de classe : 3.82
- Écart type : 0.73
- Effectif : N=17


Problème 1 (6 points)

1. Donnez l’expression de l’énergie cinétique $E_{cin}$ d’une particule de masse m se déplaçant à la vitesse $\beta$ :

  • a) dans le cas classique ($E_{cin cl}$)
  • b) dans le cas relativiste ($E_{cin rel}$)

2. On admet arbitrairement que lorsque l’erreur $\frac{E_{cin rel}-E_{cin cl}}{E_{cin cl}}$ vaut 1%, la limite de la mécanique newtonienne est atteinte.

  • a) Que vaut la vitesse de la particule lorsqu’elle atteint cette limite ?
  • b) Quelle fraction de sa masse son énergie cinétique classique représente-t-elle alors ?

Problème 2 (4 points)

  • a) Exprimez l’énergie nécessaire pour accélérer un proton de $\beta_1$ à $ \beta_2$
  • b) Calculez cette énergie dans les deux cas suivants : $\beta_1=0.5$ $\beta_2=0.7$ et $\beta_1=0.7$ $\beta_2=0.9.$

Problème 3 (4 points)

Une particule instable de masse m se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses $\beta_1$ et $ \beta_2.$

  • a) Exprimez les masses de ces fragments en fonction de la masse m et des vitesses $\beta_1$ et $ \beta_2.$
  • b) Calculez les masses des fragments pour $m=3.67\times 10^{-27}$ kg, $\beta_1=-0.772$ et $ \beta_2=0.983$.

Problème 4 (4 points)

  • a) L’énergie cinétique d’un électron dans un tube cathodique vaut 10 keV. Que vaut sa quantité de mouvement ? Que vaut sa vitesse ?
  • b) L’énergie cinétique d’un proton dans un accélérateur de particules vaut 600 MeV. Que vaut sa vitesse ? Que vaut sa quantité de mouvement ?

Problème 5 (6 points)

Un proton se déplace horizontalement à la vitesse v=$8 \times 10^5$ m/s. Il pénètre dans un champ électrique uniforme vertical E=$9.6 \times 10^3$ N/C.

  • a) Quel temps lui faut-il pour parcourir une distance horizontale de 5 cm ?
  • b) Quel déplacement vertical a-t-il subi après avoir parcouru cette distance ?
  • c) Que valent les composantes horizontale $v_x$ et verticale $v_y$ de sa vitesse lorsqu’il a parcouru cette distance ?

N. B. Vous négligerez la force de gravitation dans ce problème.

Corrigé


Problème 1

1. L’énergie cinétique d’une particule de masse m se déplaçant à la vitesse $\beta$ est donnée par :

  • a) $E_{cin cl}=\frac{m\beta^2}{2}$ dans le cas classique
  • b) $m(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1)$ dans le cas relativiste

2. Pour obtenir la vitesse de la particule il faut poser $\frac{E_{cin rel}-E_{cin cl}}{E_{cin cl}}=\frac{1}{100}$ et résoudre par rapport à $\beta$. En substituant la valeur de $\beta$ obtenue dans le rapport de l’énergie cinétique classique à l’énergie de masse $\frac{\beta^2}{2}$, on trouve ce que représente l’énergie cinétique de la particule par rapport à son énergie de masse.

  • a) $\beta=0.115$. La limite newtonienne est atteinte lorsque la vitesse de la particule vaut environ 11.5 % de la vitesse de la lumière.
  • b) 0.66 %. La limite newtonienne est atteinte lorsque l’énergie cinétique de la particule représente environ 0.66 % de son énergie de masse.

Problème 2

  • a) $m(\frac{1}{\sqrt{1-\beta_2^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2}})$ L’énergie nécessaire pour passer de $\beta_1$ à $ \beta_2$ s’obtient en formant la différence des énergies totales.
  • b) 230 MeV, 838 MeV.

Problème 3

Pour obtenir les masses $m_1$ et $m_2$ des fragments, on postule la conservation de l’énergie totale et la conservation de la quantité de mouvement (qui est nulle, la particule qui se désintègre étant initialement au repos). Cela donne deux équations :

$m=\frac{m_1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}+\frac{m_2}{\sqrt{1-\beta_2^2}}$
$0=\frac{m_1\beta_1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}+\frac{m_2\beta_2}{\sqrt{1-\beta_2^2}}$
  • a) En résolvant ces équations par rapport à $m_1$ et $m_2$, on obtient :
$m_1=\frac{\beta_2}{\gamma_1(\beta_2-\beta_1)}m$
$m_2=\frac{\beta_1}{\gamma_2(\beta_1-\beta_2)}m$
avec $\gamma_i=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_i^2}}$
  • b) $m_1=1.31\times 10^{-27}$ kg, $m_2=2.96\times 10^{-28}$ kg.

Problème 4

Dans les deux cas, l’énergie cinétique de la particule représente largement plus de 0.66 % de son énergie de masse (cf problème 1). La limite newtonienne est donc dépassée et le problème relève de la relativité restreinte. La vitesse d’une particule s’obtient en égalant son énergie totale $E$ à $E_{cin}+m$ et en résolvant l’égalité par rapport à $\beta$ :

$\frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}=E_{cin}+m$

La quantité de mouvement est donnée par $p=\beta E$

  • a) $\beta=0.19$ et $p=0.1$ MeV pour l’électron
  • b) $\beta=0.79$ et $p=1219$ MeV pour le proton

Problème 5

Le mouvement de la particule dans le champ électrique $\vec E$ peut se décomposer en un MRU selon l’horizontale car la particule ne subit aucune force selon Ox et un MRUA selon la verticale car la particule est soumise à une force $\vec F=q\vec E$ constante selon Oy.

  • a) $t=\frac{x}{v}=6.25\times 10^{-8}$ s
  • b) $y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2=\frac{qEx^2}{2mv^2}=1.8$ mm
  • c) $v_x=v=8 \times 10^5$ m/s, $v_y=at=\frac{qEx}{mv}=57396$ m/s

Barème

Questions posées (hors cours)

Résultats


Commentaires  forum ferme

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lundi 2 mars 2009 à 22h08 - par  Bernard Vuilleumier

Non, l’équation (E*-E)/E*=1/100 n’a pas de solution réelle car cela signifierait, dans une interprétation « masse variable avec la vitesse » que l’on peut trouver une vitesse à laquelle la particule a une masse inférieure à celle qu’elle aurait au repos. Ou, sans parler de masse variable, que le temps mesuré dans le système de la particule, serait inférieur au temps propre.

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vendredi 27 février 2009 à 23h58 - par  Bernard Vuilleumier

Salut Pascal,

L’équation $\frac{E_{cin rel}-E_{cin cl}}{E_{cin cl}}=0.01$ donne, en considérant le même nombre de chiffres significatifs, les mêmes valeurs :

Cette solution n’est ni plus ni moins calculable à la main que la racine d’un nombre ou le cosinus d’un angle. Et qui s’offusque aujourd’hui du fait que les collégiens utilisent une calculatrice pour calculer la racine d’un nombre ou le cosinus d’un angle ? Est-il dès lors judicieux d’interdire les calculatrices programmables qui parviennent à résoudre ce type d’équations ?

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jeudi 26 février 2009 à 23h53 - par  Pascal Rebetez

Pour la question 1, l’équation (E*-E)/E*=1/100 a-t-elle une solution pour v (E* est l’énergie cinétique classique et E l’énergie cinétique relativiste) ? La solution donnée dans ce corrigé a été calculée pour l’équation (E-E*)/E*=1/100. Cette solution est-elle calculable à la main en un temps raisonnable pour un collégien de 4ème année ?

Cordialement.

Pascal