Énergie totale, énergie cinétique et énergie de masse

Énergie cinétique classique et énergie cinétique relativiste
vendredi 28 avril 2006
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Si les vitesses atteintes ne sont pas négligeables devant la vitesse de la lumière, il faut recourir à l’expression relativiste de l’énergie cinétique. Les tables CRM parlent de la masse au repos m0 des particules et de leur masse m lorsqu’elles ont été accélérées, comme si la masse variait avec la vitesse. Or la masse m est un invariant et elle conserve la même valeur dans tous les référentiels galiléens. Comment concilier cet apparent paradoxe ?

Pour les problèmes qui concernent l’accélération de particules, vous utilisez la relation suivante :

qU = ∆Ecin

Si les vitesses atteintes ne sont pas négligeables devant la vitesse de la lumière, il faut recourir à l’expression relativiste de l’énergie cinétique. Les tables CRM et le cours ne suivent pas la même approche : les tables parlent de la masse au repos m0 des particules et de leur masse m lorsqu’elles ont été accélérées, comme si la masse variait avec la vitesse. Nous avons vu dans le cours de relativité restreinte que la masse m est un invariant et qu’elle conserve la même valeur dans tous les référentiels galiléens. Voici une comparaison des formules et expressions relativistes qui devrait permettre de clarifier la situation :

GrandeurTablesCours
masse au repos m0 m
quantité de mouvement $p=\frac{m_0 v}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ $p=\frac{m \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$
énergie totale $E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ $E=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$
énergie de masse E0=m0c2 m
énergie cinétique Ecin=E-E0 Ecin=E-m
relation énergie quantité de mouvement E2=p2c2+m02c4 E2=p2+{m}2

N. B. Les formules des tables donnent des énergies en joule et celles du cours en kg. Pour obtenir des énergies en joule avec les formules du cours, il suffit de multiplier E, m et Ecin par c2.

Remarque

La vitesse β n’est pas souvent utilisée pour résoudre des problèmes concernant la quantité de mouvement et l’énergie de particules animées de vitesses relativistes et il n’est pas très pratique de se servir des expressions de l’énergie et de la quantité de mouvement qui font intervenir $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ car une variation infime de β correspond à une variation énorme de la quantité de mouvement ou de l’énergie d’une particule dont la vitesse est proche de celle de la lumière. Les problèmes de particules rapides se posent plutôt en fonction de leur énergie cinétique $E_{cin}$ ou de leur énergie totale E. Les formules :

$E^2-p^2={m^2}$
$E_{cin}={E-m}$

permettent alors de trouver les quantités de mouvement de chaque particule et il est bien plus commode de ne pas mentionner la vitesse et de ne pas utiliser de formule où elle intervient. Si la vitesse β est explicitement demandée vous pouvez la calculer en utilisant l’expression :

$\beta=th\theta={\frac{sinh\theta}{cosh\theta}}={\frac{m sinh\theta}{m cosh\theta}}={\frac{p}{E}}$

Exemple

Un accélérateur de particules, du type Van de Graff, produit des protons et des positons (anti-électrons) de 5 MeV. Déterminez la vitesse de ces particules. Si vous utilisez la relation classique qU=$\Delta$Ecin, vous obtenez les résultats suivants :

- vproton=3.09 × 107 m/s
- vpositon=1.33 × 109 m/s

Le première vitesse obtenue n’est pas tout à fait négligeable en regard de la vitesse de la lumière. Le deuxième résultat en revanche fournit une vitesse supérieure à celle de la lumière ! Il faut donc utiliser l’expression relativiste de l’énergie :

${E}={\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}$

pour exprimer l’énergie cinétique Ecin=E-mc2 :

$qU=\Delta E_{cin}=mc^2(\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^2}}-1)$

En posant $\beta={\frac{v}{c}}$ dans cette équation et résolvant par rapport à v, on obtient les vitesses suivantes :

- vproton=3.08 × 107 m/s
- vpositon=2.99 × 108 m/s

Ces vitesses sont inférieures à celles calculées au moyen de la définition classique de l’énergie cinétique et elles ne dépassent pas la vitesse de la lumière, quelle que soit la tension d’accélération.


Commentaires  forum ferme

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mercredi 26 novembre 2008 à 18h09 - par  Bernard Vuilleumier

Un collègue m’a demandé s’il ne serait pas judicieux de parler de la variation d’inertie avec la vitesse, grandeur qu’on distinguerait ainsi de la masse pour conserver à celle-ci son caractère invariant.

Je préfère toutefois dire : en relativité restreinte, la quantité de mouvement qui est définie par $m\frac{dx}{d\tau}$ fait intervenir une grandeur mesurée dans Σ (c’est dx) et une autre mesurée dans Σ’ (c’est dτ). En exprimant dτ dans Σ on fait apparaître le facteur $\gamma$ et on met en évidence la véritable nouveauté conceptuelle : le temps ne s’écoule pas de la même manière dans Σ et dans Σ’ et c’est ce facteur $\gamma$ qui en tient compte :

$m\frac{dx}{d\tau}=m\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau}=mv\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)}}=mv\gamma $

Et s’il faut justifier l’expression relativiste de la quantité de mouvement - car le facteur gamma découle de cette définition - alors je dis qu’elle a été construite ainsi pour être conservée (c’est cette quantité là qui est conservée lors de chocs entre particules animées de grandes vitesse, et pas p=mv).

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lundi 3 décembre 2007 à 22h40 - par  Bernard Vuilleumier

La deuxième colonne vous permet d’exprimer les grandeurs dans l’unité qui vous convient le mieux. Toutes les grandeurs (m, p, E et Ecin) ont les mêmes unités dans cette colonne (celles que vous aurez choisies).

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lundi 3 décembre 2007 à 18h15 - par  Antonio

Bonsoir,

En relisant mes notes, je vois que la différence entre les colonnes Tables et Cours est que :

- la première : utilise les unités S.I.
- la seconde : n’utilise que des m et des kg et l’énergie est en MeV

Est-ce exact / manque-t-il quelque chose ?

Merci d’avance