Exercices sur l’énergie relativiste

Énergies cinétique, de masse et totale. Quantité de mouvement.
samedi 20 janvier 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 1%



Exercice 1

  • a) Quelle énergie faut-il pour accélérer un électron de 0.57 c à 0.86 c ?
  • b) Et pour accélérer un électron de 0.86 c à 0.99 c ?

- Rép. 0.379 MeV, 2.621 MeV.



Exercice 2
Un proton se déplace à la vitesse 0.987 c.

  • a) Que vaut son énergie de masse ?
  • b) Que vaut son énergie totale ?
  • c) Que vaut son énergie cinétique ?

- Rép. 938 MeV, 5836 MeV, 4898 MeV.



Exercice 3
Une particule instable de masse m=3.67 10-27 kg se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses -0.772 c et 0.983 c. Que valent les masses de ces fragments ?

- Rép. 1.3066 10-27 kg, 2.9641 10-28 kg.



Exercice 4
L’énergie cinétique d’un proton dans un accélérateur vaut 100 GeV.

  • a) Que vaut sa vitesse ?
  • b) Que vaut sa quantité de mouvement ?

- Rép. 2.9978 108 m/s, 5.387310-17 kg m/s.



Exercice 5
Des électrons sont accélérés à une énergie de 15 GeV dans le SLAC (Stanford Linear Accelerator) qui mesure 3 km de long.

  • a) Que vaut le facteur β pour ces électrons ?
  • b) Quelle est leur vitesse ?
  • c) Que vaudrait la longueur de l’accélérateur s’il était observé depuis un référentiel lié à ces électrons (une fois qu’ils ont atteint cette vitesse).

- Rép. 0.9999999994, 2.99792457 108 m/s, 10.2 cm.



Exercice 6
Une particule instable de masse m=260 me se désintègre en un muon μ de masse mμ = 206 me et un antineutrino ν de masse mν ≈ 0. Que valent les énergies cinétiques du muon μ et de l’antineutrino ν ?

- Rép. 2.866 MeV, 24.729 MeV.


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Documents joints

Corrigé : Notebook Mathematica
Energie relativiste calculs

Commentaires  forum ferme

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samedi 23 janvier 2010 à 14h06 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour Cyril,
Attention, β est défini comme étant le rapport $\frac{v}{c}$, donc β est un nombre pur. C’est v qui est donné par βc.

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vendredi 22 janvier 2010 à 15h33 - par  Cyril Alispach

Bonjour,

À l’exercice 5, question a). La réponse ne devrait-elle pas être "$0.9999999994c$" plutôt que "$0.9999999994$" ? Car il s’agit de donner la valeur de $\beta$ qui s’exprime en fonction de $c$.

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jeudi 14 janvier 2010 à 09h59 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour Pascal,
Merci pour cette lecture attentive. Quelle chance a l’équipe Math & Sciences de pouvoir compter sur tes compétences. C’est grâce à des personnes comme toi que nous améliorerons la qualité de nos sites. C’est évidemment le facteur β qui est donné dans la réponse et pas γ.

En posant $E = \frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}} = \gamma m}$ on trouve γ= 29354

J’ai modifié l’énoncé, mon intention était bien de demander la valeur de β !

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jeudi 14 janvier 2010 à 02h03 - par  Pascal R

Bonjour Bernard,
Il me semble que la réponse de l’exercice 5a) est fausse puisque le facteur gamma ne peut prendre que des valeurs comprise dans l’intervalle (1 ;infini(, or la réponse est une valeur < 1 !
Cordialement.
Pascal R

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lundi 3 décembre 2007 à 22h26 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

- Exercice 4. À partir de l’énergie cinétique et de la masse du proton on peut exprimer son énergie totale E (E = Énergie cinétique + Énergie de masse) puis trouver sa vitesse $\beta$, et finalement sa quantité de mouvement p (p = $\beta$E).
- Exercice 6. L’énergie totale et la quantité de mouvement se conservent, ce qui permet d’écrire deux équations (que nous avons rencontrées dans l’exercice 3) qu’on résout par rapport à $\beta_1$ et $\beta_2$.

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lundi 3 décembre 2007 à 22h19 - par  Bernard Vuilleumier

La quantité totale de mouvement est conservée. Comme elle est nulle avant la désintégration (la particule est au repos ou observée dans un système qui lui est lié), elle doit aussi être nulle après, d’où l’équation posée.

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lundi 3 décembre 2007 à 22h16 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Oui, oui, oui, oui. Mais ce n’est pas nécessaire de poser quatre fois la question !

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lundi 3 décembre 2007 à 22h12 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Vos expressions littérales sont justes, mais vos conversions d’unités comportent des erreurs. C’est tout l’intérêt de travailler en eV, cela diminue le risque d’erreur ! Mais libre à vous d’utiliser les unités MKS. Toutefois, c’est 1 eV qui est égal à 1.6 * 10-19 J et pas 1 MeV comme vous l’écrivez.

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lundi 3 décembre 2007 à 21h59 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

- Nous avons vu, dès le mois d’octobre, différentes formes de la transformation de Lorentz et vous avez reçu un document dans lequel le facteur gamma est défini.
- Exercices 5 et 6

  • Exercice 5. Vous devez résoudre l’expression donnant l’énergie totale E par rapport à β (une équation à une inconnue, j’ose espérer que vous savez le faire !) À tout hasard, je vous donne la solution :
    $\beta=±\sqrt{1-\frac{m^2}{E^2}}$
  • Exercice 6. L’énergie totale et la quantité de mouvement se conservent, ce qui permet d’écrire deux équations (que nous avons déjà écrites pour résoudre l’exercice 3). Il faut ensuite résoudre ces équations par rapport à $\beta_1$ et à $\beta_2$.
lundi 3 décembre 2007 à 20h31

Car la quantité de mouvement est la même avant et après que la particule se désintègre. Puisque que la particule est immobile au départ alors sa quantité de mouvement est égale à 0 (loi de la conservation de la quantité de mouvement).

Logo de Florian
lundi 3 décembre 2007 à 20h30 - par  Florian

Bonsoir malgré vos explications je ne comprend pas les exercices 4 et 6. Pourriez-vous donner quelques informations supplémentaire. Merci d’avance

Logo de Antonio
lundi 3 décembre 2007 à 18h36 - par  Antonio

Bonsoir,

Dans le corrigé Mathematica, à l’exercice 3, je ne comprends pas conceptuellement la seconde équation que vous posez dans le Solve :

m1/Sqrt[1 - b1^2]*b1 + m2/Sqrt[1 - b2^2]*b2 == 0

Comment ce fait-il que l’addition de ces 2 quantités de mouvement vaille 0 ?

Merci Beaucoup

Logo de Lionel
lundi 3 décembre 2007 à 18h09 - par  Lionel

Bonsoir,

Aurons-nous droit aux calculettes programmables durant l’épreuve ?

Merci d’avance

Logo de Antonio
lundi 3 décembre 2007 à 17h51 - par  Antonio

Bonsoir,

Je ne comprends pas la démarche de l’exercice 4, le a (et donc le b).

N’ayant vu les MeV que durant les 90 minutes du dernier cours, je préfère utiliser les unités S.I.

Je pose d’abord :

$ E_{cin}=E_{totale}-E_{masse} $

$ E_{cin} = \frac{m_{p} c^2}{\sqrt{1-\beta^2}} - m_{p} c^2 $

$ (E_{cin} + m_{p} c^2) \sqrt{1-\beta^2} = m_{p} c^2 $

$ \sqrt{1-\beta^2} = \frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2} $

$ -\beta^2 = (\frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2})^2 - 1 $

$ \beta = \sqrt{1-(\frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2})^2} $

$ \beta = \frac{v}{c} $

$ v = c \sqrt{1-(\frac{m_{p} c^2}{E_{cin} + m_{p} c^2})^2} $

Je calcule alors, en fonction des données de la table CRM et en transformant les GeV en J comme suit :

$ E_{cin}=100 GeV $

$ E_{cin}=100’000 MeV $

$ E_{cin}=100’000*1.60217733*10^-19 J $

$ E_{cin}=100’000*1.60217733*10^-14 J $

Le résultat que je trouve (je ne vois pas où est l’erreur) :

$ v = 4.376596865*10^6 m/s $

Toutefois, en utilisant les formules de la colonne cours j’arrive au même résultat que le corrigé. Comment est-ce possible puisque ces formules (des deux colonnes) sont sensées être équivalentes ?

Merci Beaucoup

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lundi 3 décembre 2007 à 14h47 - par  Yannick S.

Certes, mais cela ne suffit pas à ce que nous arrivions à résoudre ces exercices :

- dans l’exercice 5, qu’est-ce que le facteur $\gamma$ que vous nous demandez ? De même, pourriez-vous donner les formules à poser étape par étape (sans code Mathematica, merci)

- dans l’exercice 6 nous n’avons pas $\beta$ et si l’antineutrino a une masse environ égale à 0, nous obtenons comme équation pour l’énergie cinétique : $E_cin = 0-0$. Donc, comment le résoudre ? (même question que pour l’exercice 5)

Logo de Bernard Vuilleumier
dimanche 2 décembre 2007 à 22h37 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Oui, les connaissances requises pour résoudre ces exercices font partie du champ de l’épreuve car nous les avons déjà utilisées pour résoudre d’autres exercices. Il s’agit, pour l’exercice 5, d’isoler β de l’expression de l’énergie totale pour obtenir la vitesse et pour l’exercice 6 de postuler la conservation de l’énergie totale et de la quantité de mouvement, de résoudre les deux équations ainsi obtenues par rapport aux vitesses β puis de substituer ces vitesses dans l’expression de l’énergie cinétique.

Logo de Yannick S.
dimanche 2 décembre 2007 à 21h59 - par  Yannick S.

Bonsoir,

étant donné que nous n’avons pas traité en classe les exercices 5 et 6, font-ils partie du champ de l’épreuve de mardi ou non ?

Bonne soirée.