Exercices sur la relativité galiléenne

Transformation de Galilée
dimanche 24 septembre 2006
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 1%


Exercice 1

Un mobile se déplace dans un référentiel d’inertie selon l’horaire :

  • Écrivez les équations paramétriques de la trajectoire du mobile.
  • Donnez l’équation de cette dernière.
  • Dessinez cette trajectoire pour tminttmax.
  • Dessinez les vecteurs position, vitesse et accélération du mobile.

On observe le mobile depuis un autre référentiel en translation à la vitesse :

par rapport au premier référentiel. Au temps t=0, les deux origines coïncident.

  • Donnez l’horaire du mobile dans ce deuxième référentiel.
  • Calculez les composantes selon Ox et Oy des vecteurs position, vitesse et accélération du mobile dans ce référentiel.
  • Comparez les valeurs obtenues dans chaque référentiel pour ces composantes.
  • Dessinez la trajectoire du mobile dans ce référentiel.

Données numériques

x0=0 m, y0=0 m, v0=20 m/s, α=60°, gx=0 m/s2, gy=-9.81 m/s2, v*x=10 m/s, v*y=0 m/s, tmin=0 s, tmax=3.5 s.

Rép. Composantes des différents vecteurs dans les deux systèmes.

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Composantes des vecteurs dans le premier système

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Composantes des vecteurs dans le deuxième système



Exercice 2

Un mobile se déplace dans un référentiel d’inertie selon l’horaire :

  • Calculez les composantes selon Ox et Oy des vecteurs position, vitesse et accélération du mobile dans ce référentiel.
  • Dessinez la trajectoire du mobile pour tminttmax.

On observe le mobile depuis un autre référentiel en translation à la vitesse :

par rapport au premier référentiel. Au temps t=0, les deux origines sont séparées par le vecteur :

  • Donnez l’horaire du mobile dans ce deuxième référentiel.
  • Calculez les composantes selon Ox et Oy des vecteurs position, vitesse et accélération du mobile dans ce référentiel.
  • Dessinez la trajectoire du mobile dans ce référentiel.

N. B. La courbe définie par la trajectoire du mobile dans le deuxième système, dite courbe brachistochrone, jouit d’une propriété très intéressante : c’est la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant.

Données numériques

d=1 m, ω=1 rad/s, φ=π/2 rad, tmin=0 s, tmax=π s, v*x=-1 m/s, v*y=0 m/s, x0=0 m, y0=1 m.

Rép. Représentation des vecteurs dans les deux systèmes de référence pour 0 ≤ t ≤ π par pas de π/5 s.

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Vecteurs position, vitesse et accélération dans les deux systèmes
En bleu, vecteurs position, en vert vecteurs vitesse et en rouge vecteurs accélération. On constate que les vecteurs accélération sont les mêmes dans les deux systèmes.

Exercice 3

Un mobile se déplace dans un référentiel d’inertie durant un temps t, -3 ≤ t ≤ 3 s, selon l’horaire :

- Dessinez sa trajectoire.

On observe le mobile depuis un autre référentiel en translation à la vitesse :

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par rapport au premier référentiel. Au temps t=tmin, les deux origines sont séparées par le vecteur :

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- Dessinez la trajectoire observée depuis ce deuxième référentiel lorsque :

  • v*x=-1 m/s, v*y=0 m/s, xtmin=3 m, ytmin=1 m.
  • v*x=1 m/s, v*y=0 m/s, xtmin=-3 m, ytmin=1 m.
  • v*x=0 m/s, v*y=-1 m/s, xtmin=1 m, ytmin=3 m.
  • v*x=0 m/s, v*y=1 m/s, xtmin=1 m, ytmin=-3 m.
  • v*x=1 m/s, v*y=1 m/s, xtmin=-2 m, ytmin=-2 m.
  • v*x=1 m/s, v*y=-1 m/s, xtmin=-2 m, ytmin=2 m.

Rép. Trajectoire du mobile dans le premier référentiel.

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Trajectoire du mobile


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Commentaires  forum ferme

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lundi 1er octobre 2007 à 22h18 - par  Bernard Vuilleumier

Oui, mais la notation utilisée dans le cours est plutôt la suivante :

$\vec{r’}=\vec{r}+\vec{r_0}-\vec{v^*}t$

mais peu importe, il suffit de savoir de quoi l’on parle.
$\vec{r’}$ : vecteur position du mobile dans le deuxième système
$\vec{r}$ : vecteur position du mobile dans le premier système
$\vec{r_0}$ : vecteur séparant les deux origines au temps t=0
$\vec{v^*}$ : vecteur vitesse du deuxième système par rapport au premier.

Attention, si vous utilisez Mathematica, il faut modifier cette notation car, dans ce logiciel, le prime désigne la dérivée de r, mais ce n’est pas sa signification dans la transformation de Galilée.

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lundi 1er octobre 2007 à 20h46 - par  Yannick S.

Ok, et dans le cas où les deux origines ne coincident pas la formule pourrait être écrite sous la forme

$\vec{r_2}(t) = (\vec{r_0}+ \vec{r*})+ (\vec{V_0}-\vec{V*})t+ \frac{1}{2} \vec{g} t^2$

Juste ?

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lundi 1er octobre 2007 à 20h31 - par  Bernard Vuilleumier

Oui, la transformation de Galilée est tout à fait générale et peut s’appliquer dans tous les cas de mouvement relatif rectiligne uniforme entre deux systèmes.

Pour les calculs « à la main », il suffit de remplacer r0, v0, vr dans les équations horaires (écrites en composantes) par les valeurs données dans l’énoncé, et d’effectuer le calcul pour les différents t. Avez-vous des difficultés avec cette opération ?

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lundi 1er octobre 2007 à 19h28 - par  Bernard Vuilleumier

C’est la même démarche que pour l’exercice précédent. Vous écrivez l’horaire dans le premier référentiel et vous obtenez l’horaire dans le second par une transformation de Galilée :

d = 1;
omega = 1;
phi = Pi/2;
tinitial = 0;
tfinal = Pi;
deltat = Pi/5.;
r[t_] := d {Cos[omega*t + phi], Sin[omega*t + phi]} (* horaire dans le premier système *)

r0 = {0, 1};
vr = {-1, 0};
r2[t_] := r0 + r[t] - vr*t (* horaire dans le second système *)
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lundi 1er octobre 2007 à 19h27 - par  Yannick S.

Je pense qu’Antonio attendait une réponse plus...numérique afin de justement pouvoir faire ces calculs à la main.

Nonobstant cela, l’équation dans le deuxième référentiel peut s’écrire sous la forme plus condensée :

$\vec{r_{2}}(t) = \vec{r0}+(\vec{v0}-\vec{v*}) t+\frac{1}{2} \vec{g} t^2$

Par extension, on peut faire un calcul similaire pour chaque horaire à transposer dans un autre référentiel inertiel.
N’est-ce pas ?

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lundi 1er octobre 2007 à 19h19 - par  Bernard Vuilleumier

La vitesse relative entre les deux systèmes permet d’écrire la transformation de Galilée. Dans le code Mathematica que je vous ai donné, vous trouverez les équations horaires exprimées dans les deux systèmes (r[t] et r2[t]) et vous constaterez que la deuxième équation s’obtient à partir de la première par une transformation de Galilée.

N. B. La vitesse relative est désignée par vr.

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lundi 1er octobre 2007 à 19h13 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

L’horaire du mobile dans le second référentiel en translation à la vitesse $\vec{v^*}$ par rapport au premier s’obtient par une transformation de Galilée (voir la réponse donnée à Florian). L’horaire du mobile dans le premier référentiel est donné dans l’énoncé. Dans Mathematica, vous écrivez :

N. B. Ces calculs ne présentent aucune difficulté et peuvent très bien se faire à la main.

Je vous rappelle que la vitesse s’obtient en dérivant la fonction qui donne le vecteur position et l’accélération en dérivant la fonction qui donne la vitesse.

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lundi 1er octobre 2007 à 18h36 - par  Antonio

t étant déjà le paramètre, comment l’intégrer à V* ?

Est-ce une multiplication de t par V* ou alors simplement un "paramétrage" V*(t) ?

Merci

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lundi 1er octobre 2007 à 18h31 - par  Bernard Vuilleumier

Nous avons étudié la cinématique vectorielle en troisième année. Avez-vous déjà tout oublié ? Nous utilisons ces connaissances en quatrième année lorsque nous abordons la transformation de Galilée qui relie les vecteurs position $\vec r$ et $\vec{r’}$ d’un mobile dans deux systèmes inertiels en mouvement relatif à la vitesse $\vec {v^*}$ l’un par rapport à l’autre :

$\vec{r’}=\vec r-\vec {v^*}t$
$t’=t$

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lundi 1er octobre 2007 à 18h15 - par  Antonio

Bonjour Monsieur,

Ne disposant pas des équations paramétriques dans la correction, je me permets de vous demander si celles que j’ai écrites sont correctes ?

Algébriquement :

Position

$ r_{x}(t)= d \cos{(\omega t + \phi)} $

$ r_{y}(t)= d \sin{(\omega t + \phi)} $

Vitesse

$ v_{x}(t)= -d \omega \sin{(\omega t + \phi)} $

$ v_{y}(t)= d \omega \cos{(\omega t + \phi)} $

Accélération

$ a_{x}(t)= d \omega^2 \cos{(\omega t + \phi)} $

$ a_{y}(t)= -d \omega^2 \sin{(\omega t + \phi)} $

Numériquement :

Sachant que d=1 et w=1,

Position

$ r_{x}(t)= \cos{(t + \frac{\pi}{2})} $

$ r_{y}(t)= \sn{(t + \frac{\pi}{2})} $

Vitesse

$ v_{x}(t)= -\sin{(t + \frac{\pi}{2})} $

$ v_{y}(t)= \cos{(t + \frac{\pi}{2})} $

Accélération

$ a_{x}(t)= -\cos{(t + \frac{\pi}{2})} $

$ a_{y}(t)= -\sin{(t + \frac{\pi}{2})} $

Y’a-t-il un erreur dans ce qui précède ?

Merci Beaucoup

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lundi 1er octobre 2007 à 18h00 - par  Florian

Bonjour Monsieur, comment se fait-il que cet exercice figure dans le champs de l’épreuve alors que nous ne l’avons jamais vu en classe ?

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lundi 1er octobre 2007 à 17h51 - par  Antonio

Bonjour,

Je ne comprends comment faire avec $ \vec{V}* $ et comment arriver aux résultats du tableau avec ce dernier ?

Laquelle des 2 expressions ci-dessus serait correcte ?

$ r_{\sum’} = r_{\sum} - v_{r} t $

ou alors

$ r_{\sum’} = r_{\sum} - v_{*} t $

Merci beaucoup

Logo de Antonio
lundi 1er octobre 2007 à 17h49 - par  Antonio

Bonjour Monsieur,

Pourriez-vous préciser quels équations permettent de trouver le tableau-corrigé à l’exercice 1 ?

S’agit-il bien de poser :

$ r_{x}(t) = 20 \cos{(60)} t $

$ r_{y}(t) = 20 \sin{(60)} t - \frac{1}{2} 9.81 t^2 $

Puis de dériver,

$ v_{x}(t) = -20 \sin{(60)} $

$ v_{y}(t) = 20 \cos{(60)} - 9.81 t $

$ a_{x}(t) = 0 $

$ a_{y}(t) = -9.81 $

Merci d’avance