Exercices sur la relativité restreinte

Événements, diagrammes d’espace-temps, intervalles, changement de référentiel
vendredi 17 novembre 2006
par  Bernard Vuilleumier
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Exercices sur les notions d’événements et d’intervalle entre deux événements. Représentation d’événements à l’aide des diagrammes d’espace-temps. Différentes expressions des transformations permettant de passer d’un référentiel à un autre.



Exercice 1
a) Un point a les coordonnées (2, 1) dans un système de référence. Quelles sont ses coordonnées dans un autre système qui a subi une rotation de $\frac{\pi}{3}$ par rapport au premier ?

- Rép. ($1+\frac{\sqrt3}{2}$, $\frac{1}{2}-\sqrt3$)

b) Un point a les coordonnées (4, 5) dans un système de référence qui a subi une rotation de $\frac{\pi}{5}$ par rapport au système d’origine. Quelles sont ses coordonnées dans le système d’origine ?

- Rép. (0.3, 6.4)

c) Vérifiez dans chaque cas qu’en appliquant la transformation inverse aux coordonnées obtenues, vous retrouvez les coordonnées de départ.



Exercice 2
1. Quatre événements (x, t) de coordonnées respectives (0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) dans un système de référence $\Sigma$ sont observés depuis un système de référence $\Sigma$’ en translation rectiligne uniforme selon Ox à la vitesse v=15 m/s.

a) Donnez la transformation permettant de passer des coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$ aux coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$’.

b) Calculez les coordonnées de ces événements dans $\Sigma$’.

c) Dessinez ces événements dans $\Sigma$ et dans $\Sigma$’.

2. Les quatre événements (x, t) de coordonnées respectives (0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) sont maintenant observés depuis un système de référence $\Sigma$’ en translation rectiligne uniforme selon Ox à la vitesse $\beta=\frac{1}{2}$.

a) Donnez la transformation permettant de passer des coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$ aux coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$’.

b) Calculez les coordonnées de ces événements dans $\Sigma$’.

c) Dessinez ces événements dans $\Sigma$ et dans $\Sigma$’.



Exercice 3
a) Représentez les événements ci-dessous à l’aide d’un diagramme d’espace-temps.

$E_1=(1, 0), E_2={\frac {\sqrt{26}}{5},\frac {1}{5}}, E_3=(\frac {\sqrt{29}}{5}, \frac{2}{5}),\ E_4=(\frac {\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2})$

$E_5=(\frac{\sqrt{34}}{5}, \frac {3}{5}), E_6=(\frac{\sqrt{41}}{5}, \frac{4}{5}),\ E_7=(\sqrt{2}, 1),\ E_8=(\frac{\sqrt{74}}{5}, \frac{7}{5})$

$E_9=(\frac{\sqrt{13}}{2}, \frac {3}{2}),\ E_{10}=(\frac{\sqrt{89}}{5}, \frac{8}{5}),\ E_{11}=(\frac{\sqrt{106}}{5}, \frac {9}{5}),\ E_{12}=({\sqrt{5}, 2)$

b) Calculez l’intervalle séparant chacun de ces événements de l’origine.



Exercice 4
1. Parmi les points de chacune des figures ci-dessous, quels sont ceux qui sont :

a) séparés par la même distance de l’origine O ?

b) séparés par le même intervalle de l’origine O ?

2. Y a-t-il des points, dans chacune de ces figures, qui sont séparés entre eux :

a) par une distance égale à celle qui les sépare de l’origine O ?

b) par un intervalle égal à celui qui les sépare de l’origine O ?



Exercice 5
Le passage d’un système de référence Σ à un autre &Sigma’ en translation uniforme selon Ox est donné par la transformation de Lorentz suivante :

$\begin{pmatrix}{{cosh\theta},{-sinh\theta}\cr{-sinh\theta},{cosh\theta}}\end{pmatrix}$

a) Démontrez que cette expression de la transformation de Lorentz est équivalente à :

$\begin{pmatrix}{\gamma,-\beta\gamma\cr-\beta\gamma,\gamma}\end{pmatrix}$

b) Donnez la relation entre β et θ.

c) Dessinez les systèmes de référence au moment où les origines coïncident :

  • lorsque ${\theta}={\frac{\pi}{4}}$
  • lorsque ${\theta}={\frac{\pi}{2}}$

d) Que vaut la vitesse relative de translation d’un système par rapport à l’autre pour chacune de ces valeurs de θ ?

e) Une règle de 1 m, placée sur l’axe Ox de Σ, est observée depuis Σ’. Quelle longueur l’observateur de Σ’ lui attribue-t-il ? Quelle longueur un observateur de Σ attribuerait-il à une règle de 1 m placée sur l’axe Ox’ de Σ’ ?

f) Deux événements A et B, se produisent au même endroit et sont séparés par un mètre de temps dans Σ. Quel temps s’écoule-t-il entre ces événements pour l’observateur de Σ’ ? Quel temps s’écoulerait-il entre ces événements se produisant au même endroit et séparés par un mètre de temps dans Σ’ pour un observateur de Σ ?



Exercice 6
a) Deux événements se passent au même endroit dans un système lié au laboratoire, mais sont séparés par une durée de trois secondes. Quelles sont les coordonnées de ces événements dans un système lié à un repère mobile si le rapport de la vitesse relative des systèmes à celle de la lumière vaut $\frac{1}{2}$ ?

b) Un méson π a une durée de vie propre (durée de vie dans le référentiel lié à la particule) de 2.55 10-8 s. Il se déplace à une vitesse égale au 12/13 de la vitesse de la lumière par rapport au laboratoire. Calculez la durée de vie de ce méson π dans le laboratoire.


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Commentaires  forum ferme

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samedi 31 mai 2008 à 23h56 - par  Bernard Vuilleumier

Il faut savoir si vous faites tourner le point ou le système de référence. Une rotation du système dans un sens est équivalente à la rotation du point dans l’autre sens.

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samedi 31 mai 2008 à 23h47 - par  Bernard Vuilleumier

Bonjour,

Non, car si vous faites tourner le système de référence dans le sens positif, l’axe passe au-dessus du point qui aura donc une ordonnée négative dans le système tourné. Faites le dessin si vous n’êtes pas convaincu !

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samedi 31 mai 2008 à 19h15 - par  Antonio

Bonsoir,

Il me semble qu’à lexercice 1.a, la réponse n’est pas :

$ (1+\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} - \sqrt{3}) $

mais,

$ (1+\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} + \sqrt{3}) $

Merci

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samedi 31 mai 2008 à 12h40 - par  Antonio

Bonjour, il s’agit donc bien de calculer à partir de cette matrice :

Pour autant, le CRM présente une opposition dans les signes des sinus, différente de celle utilisée dans l’exercice, pour la "Rotation de centre O et d’angle alpha"

De quoi provient cette différence ?

Merci

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vendredi 30 mai 2008 à 23h40 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Non, il s’agit ici de simples rotations dans le plan et ce ne sont pas les fonctions hyperboliques qu’il faut utiliser, mais la matrice de rotation dans l’espace euclidien.

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vendredi 30 mai 2008 à 19h57 - par  Antonio

Bonsoir,

A l’exercice 1,

Pour effectuer la rotation, s’agit-il bien d’utiliser la matrice carrée utilisant les sinus et cosinus hyperboliques ?

Faut-il alors remplacer l’angle de ces fonctions par Pi/3 radians (point a) ?

Si tel est le cas, n’ayant pas les fonctions hyperboliques dans nos calculatrices, doit-on / peut-on passer par la fonction exponentielle ?

Car en faisant ainsi, je ne trouve pas les mêmes réponses. Par exemple à l’exercice 1.a., je trouve : ( 4.4499... ; 4.0990... )

Merci et Bonne Soirée