Exercices sur le cyclotron

Champ électrique et champ magnétique
jeudi 8 mars 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 7%

Un cyclotron est un accélérateur de particules constitué de deux boîtes en forme de D (les « dees ») séparées par une cavité haute fréquence permettant de créer un champ électrique alternatif.
Les « dees » sont placés dans un champ magnétique homogène vertical qui imprime aux particules des trajectoires circulaires.

Un cyclotron est un accélérateur de particules. Il fonctionne sur le principe suivant : on place une grande boîte dans laquelle règne un vide poussé dans un champ magnétique uniforme. Cette boîte est partagée par la moitié en deux pièces en forme de D et appelées « dees », pièces entre lesquelles on applique une tension alternative. Près du centre de la boîte se trouve une source fournissant des particules chargées. Une particule émise par la source est accélérée par le champ électrique et déviée par le champ magnétique. Lorsqu’elle a effectué un demi-tour, le champ électrique a changé de sens et elle subit à nouveau une accélération. Au fur et à mesure que sa vitesse croît, le rayon de sa trajectoire augmente. Elle décrit donc une sorte de spirale et finit par atteindre la périphérie des « dees » où un dispositif approprié la dévie, la soustrait à l’action du champ magnétique et l’envoie là où elle doit être utilisée.

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Cyclotron annulaire
Le champ magnétique est créé par 8 aimants d’une masse totale de 1944 t. Le champ électrique alternatif est produit par 4 cavités haute fréquence.

 

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Cavité haute fréquence
Il règne, dans ces cavités haute fréquence, un vide poussé de 10-6 torr. Les nervures de renforcement permettent à la cavité de résister à la pression atmosphérique. Elles sont traversées par des canaux à eau pour assurer le refroidissement. (Photo : Aluminium-Schweisswerk AG, Schlieren)

 

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Halle d’expériences
La halle contient un cyclotron injecteur (1) et un cyclotron annulaire (2). En vert : aimants des accélérateurs. En bleu : aimants déflecteurs de faisceaux. En rouge : lentilles magnétiques.


Exercice 1
Un cyclotron de rayon R placé dans un champ magnétique $\vec B$ accélère des particules de charge q et de masse m. La tension entre les deux « dees » varie entre ±U. Exprimez :

  1. la fréquence de cette tension
  2. la vitesse et l’énergie cinétique finales des particules
  3. le nombre de passages entre les deux « dees »
  4. le temps nécessaire à l’accélération complète d’une particule.

Corrigé
1. Le rayon r de la trajectoire circulaire décrite par les particules s’obtient en égalant la force de Lorentz à la force centripète :

$qvB=\frac{mv^2}{r}$ d’où $r=\frac{mv}{qB}$

Comme les particules ont des vitesses différentes, les rayons des cercles qu’elles décrivent sont différents. La demi-période (temps nécessaire pour effectuer un demi-tour) vaut :

$\frac{T}{2}=\frac{\pi r}{v}=\frac{\pi m}{qB}$

Ce résultat est remarquable car cette période ne dépend ni de la vitesse de la particule ni du rayon de sa trajectoire. Elle ne dépend que du type de particule (charge, masse) et du champ magnétique. Si ces grandeurs sont connues, il est possible de calculer la fréquence de la tension d’accélération. Cette tension change deux fois par tour. Sa fréquence vaut donc :

$f=\frac{2}{T}=\frac{qB}{\pi m}$

2. La vitesse finale est atteinte lorsque les particules décrivent une trajectoire dont le rayon r est égal à celui du cyclotron R. Elle est donnée par :

$v=\frac{qBR}{m}$ et l’énergie cinétique finale vaut $E_{cin}=\frac{mv^2}{2}=\frac{q^2 B^2 R^2}{2 m}$

3. A chaque passage (2 par tour) dans le champ électrique, les particules reçoivent une énergie qU, U étant la tension d’accélération. Le nombre de passages vaut donc :

$n=\frac{E_{cin}}{qU}=\frac{q B^2 R^2}{2 m U}$

4. Le temps pour une accélération complète d’une particule est donné par :

$t=n \frac{T}{2}=\frac{q B^2 R^2}{4 m U}T=\frac{B \pi R^2}{2 U}$

N. B. Le temps d’accélération ne dépend pas de la nature de la particule.



Exercice 2
La grandeur B du champ d’induction d’un petit cyclotron vaut 0.1 T. Son diamètre est de 2 m. On y accélère des protons. La tension d’accélération de la cavité haute fréquence entre les « dees » varie entre -10’000 V et +10’000 V. Calculez :

  1. la fréquence de cette tension
  2. l’énergie cinétique finale des protons
  3. le nombre de passages entre les « dees »
  4. le temps nécessaire à l’accélération complète d’un proton
  5. la vitesse finale des protons.

- Rép. $3.05 \times 10^6$ Hz, $7.65 \times 10^{-14}$ J, $48$, $1.57 \times 10^{-5}$ s, $9.57 \times 10^{6}$ m/s.


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Documents joints

Notebook Mathematica
Cyclotron calculs

Commentaires  forum ferme

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lundi 6 septembre 2010 à 20h21 - par  Bernard Vuilleumier

Ce qui est bien la valeur du rayon (diamètre divisé par deux) envisagée dans l’application numérique !
N. B. La coutume veut, sur ce site, que les personnes qui participent déclarent un nom. L’anonymat est ici peu prisé !

lundi 6 septembre 2010 à 19h05

L’application numérique est valable pour R=1m et non 2m.