Exercices sur les mouvements relatifs

Relativité galiléenne. Exercices et questions de théorie
mardi 4 octobre 2005
popularité : 3%


Question 1

Tycho Brahé propose l’expérience des boulets de canon tirés vers l’Est et vers l’Ouest pour réfuter la rotation de la Terre. Il affirme que « par suite du mouvement diurne extrêmement rapide de la terre (s’il y en avait un), l’obus tiré vers l’Orient ne pourrait jamais franchir autant d’espace sur la surface de la terre, la terre (de son mouvement propre) venant au-devant de lui, que celui qui de la même manière serait lancé vers l’Occident ».
a) Pour Tycho Brahé, quel est l’obus qui franchirait la plus grande distance et pourquoi ? Faites un schéma qui illustre son propos.
b) Qu’observerait-on si cette expérience était réalisée ?
c) Pourquoi cette expérience ne permet-elle pas de réfuter la rotation de la Terre sur elle-même ?



Question 2

Observé depuis le Soleil, le point situé sur l’équateur terrestre qui se trouve à la distance minimale du Soleil, se déplace en raison de la rotation de la Terre sur elle-même et du mouvement orbital de cette dernière autour du Soleil. Sachant que l’axe de rotation de la Terre est incliné de 23° :
a) Estimez la distance entre deux positions successives de ce point pour un intervalle de temps de 1h30. Le mouvement du point par rapport au Soleil peut-il être considéré comme rectiligne uniforme pour ce temps là ?
b) Écrivez la transformation de Galilée permettant de passer d’un système
lié au centre de la Terre au système ∑^'lié au Soleil en admettant que le point décrit un mouvement rectiligne uniforme dans les deux systèmes.


Question 3

a) Dessinez un référentiel (système d’axes Oxy). Dessinez un deuxième référentiel que vous supposerez en translation rectiligne uniforme selon Ox à la vitesse Overscript[V, →] _r par rapport au premier. Exprimez la position d’un mobile quelconque dans chacun de ces référentiels à l’aide de deux vecteurs positions Overscript[r, →] et Overscript[r, →] et donnez la relation liant ces deux vecteurs.
b) Démontrez que l’accélération du mobile est la même dans les deux référentiels.



Problème 1

Un bateau se déplace à vitesse constante Overscript[v, →]. On lâche une pierre du haut d’un mât de hauteur h.
a) Exprimez l’horaire
Overscript[r, →](t) de la pierre :
- dans le système de référence
lié à la Terre ;
- dans le système de référence
∑^' lié au bateau.
b) Calculez la position de la pierre dans les deux systèmes de 0.2 en 0.2 seconde pour une hauteur
h = 15 m, une vitesse ||Overscript[v, →]|| = 7 m/s et une accélération terrestre ||Overscript[g, →]|| = 9.8 m/s^2.
c) Dessinez la trajectoire de la pierre lorsqu’elle est observée depuis la Terre.
N. B. L’origine des systèmes de référence se trouve en h = h’ = 0 m.



Problème 2

La base aérienne du Pôle sud sert de dépôt de ravitaillement aux stations de recherche réparties sur un cercle de 300 kilomètres de rayon centré sur le Pôle Sud. Chaque lundi, de nombreux avions quittent la base en même temps et volent radialement dans toutes les directions à la même altitude. Chacun d’eux parachute le ravitaillement et le courrier d’une station et revient directement à la base. Un contrôleur muni de son chronomètre se tient sur la colline qui domine la base aérienne. Il constate que les avions ne reviennent pas tous en même temps. Ces écarts l’intriguent car il sait par des mesures précises que :
- la distance entre la base aérienne et chaque station de recherche est la même
- tous les avions volent à la même vitesse par rapport à l’air et cette vitesse vaut 360 km/h
- tous les avions volent en ligne droite de la base à leur station et retour.
Le contrôleur finit par conclure que les écarts doivent être dus aux vents
rencontrés à l’altitude à laquelle volent les avions. A l’aide de son chronomètre, il mesure le temps qui s’écoule entre les retours du premier et du dernier avion et il trouve 30 secondes.
a) Donnez et justifiez les expressions permettant de calculer le temps de vol minimal et le temps de vol maximal.
b) Quelle est la vitesse du vent à l’altitude où volent les avions ?
c) Dans quelle direction le vent souffle-t-il ? Peut-on déduire son sens de ces observations ?



Problème 3

Vous remontez en bateau un fleuve qui s’écoule à la vitesse v_f par rapport à la berge. La vitesse du bateau par rapport à l’eau vaut v_b. Votre chapeau tombe et flotte sur l’eau, mais vous ne vous en apercevez qu’après un temps t. Vous faites alors instantanément demi-tour pour le récupérer.
Démontrez que, dans le système de référence lié à la Terre, le temps pendant lequel vous vous éloignez de votre chapeau est égal au temps pendant lequel vous vous en rapprochez.

Corrigé


Question 1

a) Pour Tycho Brahé, c’est l’obus tiré vers l’Ouest (Occident) qui franchirait la plus grande distance.
b) Si on réalisait l’expérience, les boulets franchiraient la
même distance (les éventuelles différences ne seraient pas dues à la vitesse de rotation de la Terre).
c) Car, comme disait Galilée, « 
le mouvement est comme rien » : il est impossible de mettre en évidence le mouvement rectiligne uniforme d’un système de référence par une expérience interne au système. Et, dans l’expérience proposée par Tycho Brahé, le mouvement du sol peut être assimilé à un MRU durant le temps de vol des boulets.


Question 2

a) Ecart entre l’arc et la sécante pour le mouvement orbital (en %) pour 1h30 :

4.82×10^(-6)

Ecart entre l’arc et la sécante pour le mouvement diurne (en %) pour 1h30 :

0.65

Grandeur de la vitesse Overscript[v, →] _1 sur l’orbite en km/s :

29.89

Grandeur de la vitesse Overscript[v, →] _2 sur l’équateur en km/s :

0.464

Composante de la vitesse Overscript[v, →] _2 selon Ox en km/s :

0.427

Composante de la vitesse Overscript[v, →] _2 selon Oy en km/s :

0.181

Overscript[v, →] _1 + Overscript[v, →] _2 donne la vitesse cherchée dont la grandeur vaut, en km/s :

29.459

Distance parcourue par le point en km :

159079.

b) En admettant que la Terre se déplace dans un système ∑^' lié au Soleil selon l’axe Ox’ (mouvement orbital) à la vitesse Overscript[v, →] _1 et que la vitesse du sol à l’équateur due à sa rotation vaille Overscript[v, →] _2 dans , on obtient, en tenant compte de l’inclinaison α de la Terre sur son axe :

x ' = x + (v_1 - v_2 cos α) t


Question 3

a) La relation ente les deux vecteurs est la suivante : Overscript[r, →] = Overscript[O O^', →] + Overscript[r, →]Overscript[V, →] _r t + Overscript[r, →]
b) L’accélération du mobile est la même dans les deux référentiels. Pour le voir, il suffit de dériver deux fois de suite l’expression ci-dessus par rapport au temps, et comme
Overscript[V, →] _r est constant :

Overscript[r, →]Overscript[V, →] _r t + Overscript[r, →]
Overscript[v, →]Overscript[V, →] _r + Overscript[v, →]
Overscript[a, →]Overscript[a, →]


Problème 1

L’horaire du mobile tombant du haut du mât d’un bateau en translation uniforme par rapport au quai et observé depuis le quai est donné par :

r[t_] := r0 + v0 * t + 1/2a * t^2

Un observateur immobile sur le quai voit la trajectoire suivante :

[Graphics:HTMLFiles/84_42.gif]



Problème 2

a) Le temps de parcours est donné par (distance parcourue)/vitesse. S’il n’y a pas de vent, on obtient le même temps à l’aller et au retour. Désignons par c la vitesse de l’avion, par L/2 la distance AB et exprimons le temps t_1 pour effectuer le parcours ABA :

t_AB = t_BA = L/(2c ) t_1 = L/c

La durée t_2 de l’aller et retour ABA est plus grande dans ces conditions que dans l’air calme car si la vitesse du vent v tend vers celle de l’avion c, le temps de parcours t_2 tend vers l’infini.
Exprimons le temps (maximal) pour un parcours contre et avec un vent soufflant à la vitesse v  :

t_AB = L/(2 (c - v))  t_BA = L/(2 (c + v)) t_2 = L/c1/(1 – v^2/c^2)

La durée t_3 de l’aller et retour ACA est plus petite que celle de l’aller et retour ABA.
Exprimons le temps (minimal) pour un parcours de travers avec un vent soufflant à la vitesse v (expression à justifier) :

t_AC = t_CA = L/(2 (c^2 – v^2)^(1/2)) t_3 = L/c1/(1 – v^2/c^2)^(1/2)

La différence de temps vaut approximativement, lorsque v << c :

t_2 t_3 = ΔtL/(2 c)v^2/c^2

b) Si la distance L parcourue, la vitesse c de l’avion et l’écart de temps Δt entre l’arrivée du premier et du dernier avion sont connus, nous pouvons résoudre l’équation et calculer la vitesse du vent v. On obtient, 10 mètre par seconde.

c) La direction du vent est perpendiculaire au trajet de l’avion qui a mis le moins de temps pour effectuer l’aller et retour. On ne peut pas déduire le sens du vent de ces observations.


Problème 3

Voir l’article Quel système de référence choisir ?


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Commentaires  forum ferme

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vendredi 30 mai 2008 à 23h49 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

Oui, l’horaire est différent, mais selon l’axe vertical c’est le même dans les deux cas. Il y a une vitesse horizontale en plus lorsque la chute est observée depuis le quai.

vendredi 30 mai 2008 à 23h04

Bonsoir, pour le problème 1, si je ne fais pas erreur, l’expression de l’horaire de la pierre dans le système de réfèrence lié au bateau sera différente de celle lié au quai ?