Le paradoxe du train d’Einstein Où l’on voit que le temps n’est pas universel

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

Jusqu’à l’avènement de la théorie de la relativité restreinte en 1905, le temps était considéré comme universel : personne n’avait imaginé qu’il pourrait dépendre du référentiel dans lequel il était mesuré. Le paradoxe du train d’Einstein montre d’une façon simple que le temps qui s’écoule entre deux événements dépend du système de référence dans lequel ils sont observés. D’après E. F. Taylor, J. A. Wheeler, A la découverte de l’espace-temps, Dunod,1970.

Description

Trois personnes A, O et B empruntent un train dont la vitesse \beta_r, est voisine de 1. A se place à l’avant, O au milieu et B à l’arrière du train. Une quatrième personne O’ se tient au bord de la voie ferrée. A l’instant même où O passe devant O’, ces deux personnes reçoivent deux signaux lumineux respectivement émis par A et par B.

Le paradoxe du train d’Einstein

Questions

  1. Qui a allumé sa lampe le premier ? En utilisant uniquement les postulats de la relativité restreinte, montrez que O et O’ ne répondront pas de la même façon à cette question.
  2. Calculez la différence \Delta t_{BA} qui sépare les instants d’émission des signaux par A et par B respectivement :
  • dans le système \Sigma lié au train
  • dans le système \Sigma’ lié au sol.


Réponses

1. Les voyageurs A et B sont au repos par rapport à l’observateur O. Ils sont aussi équidistants de ce dernier et il peut le vérifier avec le mètre dont il dispose. Les éclairs émis par A et par B mettront donc le même temps pour parvenir à O. O les percevra au même instant. Il en conclura donc que les voyageurs A et B ont émis leur éclair en même temps :

\Delta t_{BA}=0

L’observateur O’ qui est au bord de la voie ferrée arrive à des conclusions tout à fait différentes. Son raisonnement est le suivant : « Les deux éclairs me sont parvenus au moment où le milieu du train (l’observateur O) passait devant moi. Ils ont donc été émis avant que le milieu du train soit devant moi. Le voyageur A était alors plus près de moi que le voyageur B. La lumière émise par B a donc dû parcourir un trajet plus long pour m’atteindre, ce qui lui a pris un temps plus long. Mais les deux éclairs me sont parvenus en même temps. Le voyageur B doit donc avoir allumé sa lampe avant le voyageur A

\Delta t’_{BA}<0

En résumé, l’observateur O’ qui se tient au bord de la voie conclut que B a allumé sa lampe avant A tandis que l’observateur O qui se trouve dans le train pense que les deux lampes ont été allumées en même temps.

2. Quelle est la différence observée dans le temps entre l’émission de ces deux éclairs par A et par B ? Dans le système non primé lié au train, les deux éclairs sont émis simultanément et \Delta t_{BA}=0. La séparation entre les émissions se réduit à \Delta x=x_B-x_A=L, la longueur du train. Le système primé se déplace vers la droite par rapport au système non primé du train, selon la convention normale que nous avons adoptée jusqu’ici. Les équations de transformation de Lorentz permettent d’obtenir le temps qui sépare ces émissions :

\Delta t’=-sinh\theta \Delta x + cosh\theta \Delta t
\Delta t’=-sinh\theta L =-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} L
Le signe moins montre que le voyageur B (qui est sur la partie positive de l’axe des x’) émet son éclair à un temps antérieur, donc négatif, à l’instant où A allume sa lampe.