Les diagrammes d’espace-temps

Observation d’événements depuis des référentiels en translation uniforme
jeudi 10 novembre 2005
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Les diagrammes d’espace-temps permettent de représenter, sur une même figure, les conclusions réciproques que peuvent formuler plusieurs observateurs en translation uniforme les uns par rapport aux autres au sujet des mêmes événements.

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Soit l’événement E_0 observé par deux observateurs dont la vitesse relative vaut β. Cet événement se produit au même endroit et au même instant pour les deux observateurs :

[Graphics:HTMLFiles/12_2.gif]

Soit l’événement E_1 séparé de E_0 par Δx. Cet événement se produit en même temps que E_0 dans ∑, mais il est antérieur à E_0 dans ∑’ :

[Graphics:HTMLFiles/12_7.gif]


Pour pouvoir mesurer la distance qui sépare ces deux événements dans ∑’ il faut que ceux-ci soient simultanés dans ce système. Nous devons donc considérer l’événement E_1^proj (projection de E_1sur x^ ' qui ne change pas la distance à mesurer dans le système de l’observé)

[Graphics:HTMLFiles/12_11.gif]


L’intervalle séparant E_0 de E_1^( proj)est plus petit que l’étalon

[Graphics:HTMLFiles/12_14.gif]


Conclusion

En mesurant une règle Δx en mouvement relatif par rapport à lui, un observateur de ∑’ lui attribue une longueur inférieure à celle de son propre étalon standard.
N.B. La longueur maximale est toujours celle mesurée dans le système propre.

Dilatation du temps

Considérons les événements E_0 et E_1séparés par une durée Δt’ et qui se produisent au même endroit dans ∑’ :

[Graphics:HTMLFiles/12_17.gif]

Pour pouvoir mesurer la durée qui sépare ces deux événements dans ∑, il faut qu’ils se produisent au même endroit dans ce système. Nous devons donc considérer l’événement E_1^proj (projection de E_1sur t qui ne change pas la durée dans le système de l’observateur) :

[Graphics:HTMLFiles/12_20.gif]


L’intervalle séparant E_0 de E_1^projest plus grand que l’étalon.

[Graphics:HTMLFiles/12_23.gif]


Conclusion

En mesurant la durée séparant deux événements se produisant au même endroit dans ∑’, un observateur de ∑ lui attribue une grandeur supérieure à celle de son propre étalon standard.
N.B. La durée minimale est toujours celle mesurée dans le système propre.

Exercice

Démontrez qu’on arrive aux mêmes conclusions en permutant le système de l’observateur et celui de l’observé.