Loi de Biot et Savart

Champ magnétique créé par une boucle de courant
jeudi 28 avril 2016
par  Bernard Vuilleumier
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Pour calculer le champ magnétique produit par des bobines de Helmholtz, nous partons de la formule de Biot-Savart qui ramène formellement le calcul de $\vec{B}$ à la sommation vectorielle des champs $d\vec{B}$ produits par des éléments de courant $Id\vec{s}$. Cette formule donne les éléments de vecteur $d\vec{B}$ correspondant aux différentes portions du conducteur. Par addition vectorielle de ces éléments, on obtient le champ $\vec{B}$ au point P.

$d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}$

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Champ résultant au point $\vec{B}$

Considérons un conducteur en forme de spire parcouru par une courant I. Dessinons les éléments de vecteur $d\vec{B}$ en un point de l’axe de cette spire. Ces éléments sont produits par les différentes portions du conducteur. Formons le champ $\vec{B}$ résultant en additionnant vectoriellement ces éléments

Champ $\vec{B}$ créé par une bobine plate sur son axe

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre $d \vec s$ et $\vec r$ est un angle droit. La grandeur de $d \vec B$ vaut donc :

$\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{ds}{{r}^2}$

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec{B}$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de $d \vec{B}$ selon Ox :

$dB_x={dB sin\alpha=dB\frac{R_{bobine}}{r}}={\frac{\mu_0 I R_{bobine}}{4\pi}\frac{ds}{{r}^3}}$

En additionnant toutes les portions ds du conducteur (intégrale de ds sur la boucle) on obtient la circonférence $2 \pi R_{bobine}$ de la boucle. La grandeur du champ résultant $\vec {B}$ vaut donc, si la bobine comporte N spires :

$B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{{r}^3}$

En exprimant r à l’aide de $R_{bobine}$ et de x, on obtient :

$r={\sqrt{R^2_{bobine}+x^2}}$

$B={\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{(R^2_{bobine}+x^2)^\frac{3}{2}}}$


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