Loi de Biot et Savart Champ magnétique créé par une boucle de courant

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

Pour calculer le champ magnétique produit par des bobines de Helmholtz, nous partons de la formule de Biot-Savart qui ramène formellement le calcul de \vec{B} à la sommation vectorielle des champs d\vec{B} produits par des éléments de courant Id\vec{s}. Cette formule donne les éléments de vecteur d\vec{B} correspondant aux différentes portions du conducteur. Par addition vectorielle de ces éléments, on obtient le champ \vec{B} au point P.

d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}

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Champ résultant au point \vec{B}

Considérons un conducteur en forme de spire parcouru par une courant I. Dessinons les éléments de vecteur d\vec{B} en un point de l’axe de cette spire. Ces éléments sont produits par les différentes portions du conducteur. Formons le champ \vec{B} résultant en additionnant vectoriellement ces éléments

Champ \vec{B} créé par une bobine plate sur son axe

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre d \vec s et \vec r est un angle droit. La grandeur de d \vec B vaut donc :

\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{ds}{{r}^2}

Seule la composante selon Ox contribue au champ \vec{B} (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de d \vec{B} selon Ox :

dB_x={dB sin\alpha=dB\frac{R_{bobine}}{r}}={\frac{\mu_0 I R_{bobine}}{4\pi}\frac{ds}{{r}^3}}

En additionnant toutes les portions ds du conducteur (intégrale de ds sur la boucle) on obtient la circonférence 2 \pi R_{bobine} de la boucle. La grandeur du champ résultant \vec {B} vaut donc, si la bobine comporte N spires :

B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{{r}^3}

En exprimant r à l’aide de R_{bobine} et de x, on obtient :

r={\sqrt{R^2_{bobine}+x^2}}

B={\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{(R^2_{bobine}+x^2)^\frac{3}{2}}}