Nageurs dans un fleuve

Relativité galiléenne. Composition des vitesses
samedi 13 octobre 2007
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 2%

Nageurs dans un fleuve
Un nageur nage dans un fleuve à la vitesse c par rapport à l’eau. Il va d’un point A à un point B situés à terre et distants de L/2. L’eau se déplace de B vers A à la vitesse v.
Le même nageur nage maintenant sur le trajet ACA. La distance entre A et C est identique à la distance entre A et B mais la droite AC est perpendiculaire à la droite AB.
- Exprimez le temps de parcours du nageur pour chacun de ces trajets.

Deux nageurs quittent en même temps le point A à la même vitesse c par rapport à l’eau. Le premier va de A vers B puis revient en A en nageant d’abord contre le courant, puis avec le courant (la vitesse de ce dernier est v). L’autre va de A à C puis revient en A en nageant toujours avec le courant de côté.
- Quel est celui qui arrivera le premier en A ?
- Exprimez le décalage entre son arrivée et celle du second ?

Application numérique
- distance L=2km
- vitesse des nageurs par rapport à l’eau : c = 1.5 m/s
- vitesse du fleuve : v = 0.5 m/s

Corrigé

Lorsque un nageur remonte le courant, sa vitesse par rapport à la terre s’obtient en soustrayant la vitesse du fleuve à sa vitesse par rapport à l’eau, et lorsqu’il descend le courant, en additionnant ces deux vitesses. Le temps de « montée » s’obtient en divisant la distance qu’il franchit par sa vitesse « à la montée », et le temps de descente en divisant cette distance par sa vitesse « à la descente » :

$ t_{ABA}=\frac{\frac{L}{2}}{c-v}+\frac{\frac{L}{2}}{c+v}=\frac{L}{c(1-\frac{v^2}{c^2})}$

La vitesse du nageur effectuant le trajet ACA est la somme vectorielle de sa vitesse par rapport à l’eau et de la vitesse du fleuve :

PNG - 16.2 ko
Composition vectorielle des vitesses
Lorsqu’un mobile se déplace dans un milieu en mouvement, sa vitesse par rapport à la Terre s’obtient en additionnant (vectoriellement) la vitesse du milieu à sa vitesse dans le milieu.
$ t_{ACA}=\frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{c^2-v^2}}+\frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{c^2+v^2}}=\frac{L}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Le nageur qui arrive en premier est celui qui effectue le trajet ACA perpendiculaire à la vitesse du fleuve, car la racine de $1 -\frac{v^2}{c^2}$, quantité comprise entre 0 et 1, est plus grande que $1 -\frac{v^2}{c^2}$.

Le décalage temporel est donné par :

$t_{ABA}-t_{ACA}=\frac{L}{c}(\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$

N. B. L’expression $\Delta t=\frac{L}{2c}\frac{v^2}{c^2}$, qui est obtenue par un développement en série au voisinage de 0, ne peut être utilisée que si v<<c.

Résultats numériques
- tABA = 1500 s
- tACA = 1414 s
- Δt = 86 s
- La formule approchée donne 74 s. [1]


[1Il faudrait utiliser ici une formule approchée obtenue par un développement en série au voisinage de $\frac{v}{c}=\frac{1}{3}$. Elle est plus compliquée et s’exprime, en posant $\frac{v}{c} = \beta$, par :

On trouve alors, avec cette formule, Δt = 85.8 s.


Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
lundi 19 mai 2008 à 23h09 - par  Bernard Vuilleumier

Bonsoir,

C’est juste, merci. Cette distance ne figurait pas dans l’énoncé. L’application numérique a été rajoutée par la suite. Mais il est possible de comparer les temps et de conclure sans avoir à connaître la distance qui sépare les deux points !

Logo de Antonio
lundi 19 mai 2008 à 21h48 - par  Antonio

Bonsoir,

Il me semble que la valeur numérique $L = 2000 m$ (selon le corrigé), ne figure pas dans l’énoncé même.

Merci et Bonne Soirée