Nageurs dans un fleuve Relativité galiléenne. Composition des vitesses

, par  Bernard Vuilleumier , popularité : 1%

Nageurs dans un fleuve
Un nageur nage dans un fleuve à la vitesse c par rapport à l’eau. Il va d’un point A à un point B situés à terre et distants de L/2. L’eau se déplace de B vers A à la vitesse v.
Le même nageur nage maintenant sur le trajet ACA. La distance entre A et C est identique à la distance entre A et B mais la droite AC est perpendiculaire à la droite AB.
- Exprimez le temps de parcours du nageur pour chacun de ces trajets.

Deux nageurs quittent en même temps le point A à la même vitesse c par rapport à l’eau. Le premier va de A vers B puis revient en A en nageant d’abord contre le courant, puis avec le courant (la vitesse de ce dernier est v). L’autre va de A à C puis revient en A en nageant toujours avec le courant de côté.
- Quel est celui qui arrivera le premier en A ?
- Exprimez le décalage entre son arrivée et celle du second ?

Application numérique
- distance L=2km
- vitesse des nageurs par rapport à l’eau : c = 1.5 m/s
- vitesse du fleuve : v = 0.5 m/s

Corrigé

Lorsque un nageur remonte le courant, sa vitesse par rapport à la terre s’obtient en soustrayant la vitesse du fleuve à sa vitesse par rapport à l’eau, et lorsqu’il descend le courant, en additionnant ces deux vitesses. Le temps de « montée » s’obtient en divisant la distance qu’il franchit par sa vitesse « à la montée », et le temps de descente en divisant cette distance par sa vitesse « à la descente » :

 t_{ABA}=\frac{\frac{L}{2}}{c-v}+\frac{\frac{L}{2}}{c+v}=\frac{L}{c(1-\frac{v^2}{c^2})}

La vitesse du nageur effectuant le trajet ACA est la somme vectorielle de sa vitesse par rapport à l’eau et de la vitesse du fleuve :

Composition vectorielle des vitesses
Lorsqu’un mobile se déplace dans un milieu en mouvement, sa vitesse par rapport à la Terre s’obtient en additionnant (vectoriellement) la vitesse du milieu à sa vitesse dans le milieu.
 t_{ACA}=\frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{c^2-v^2}}+\frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{c^2+v^2}}=\frac{L}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Le nageur qui arrive en premier est celui qui effectue le trajet ACA perpendiculaire à la vitesse du fleuve, car la racine de 1 -\frac{v^2}{c^2}, quantité comprise entre 0 et 1, est plus grande que 1 -\frac{v^2}{c^2}.

Le décalage temporel est donné par :

t_{ABA}-t_{ACA}=\frac{L}{c}(\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})

N. B. L’expression \Delta t=\frac{L}{2c}\frac{v^2}{c^2}, qui est obtenue par un développement en série au voisinage de 0, ne peut être utilisée que si v<<c.

Résultats numériques
- tABA = 1500 s
- tACA = 1414 s
- Δt = 86 s
- La formule approchée donne 74 s. [1]

[1Il faudrait utiliser ici une formule approchée obtenue par un développement en série au voisinage de \frac{v}{c}=\frac{1}{3}. Elle est plus compliquée et s’exprime, en posant \frac{v}{c} = \beta, par :

On trouve alors, avec cette formule, Δt = 85.8 s.