Relativité et paradoxes

Questions et problèmes sur la relativité restreinte
samedi 9 décembre 2006
popularité : 6%

- Champ : Relativité restreinte.
- Documents autorisés : Aucun. Calculette.
- Vendredi 8 décembre 2006, CECNB, A1-A2, 95 min.
- Moyenne de classe : 3.71
- Écart type : 0.71
- Effectif : N=17



Questions (8 points)

  1. Écrivez la matrice de la transformation de Lorentz correspondant aux formules figurant dans les Tables CRM. (1 point)
  2. Sous quelle(s) condition(s) cette transformation peut-elle s’écrire : (1 point)
  3. Quel(s) avantage(s) la $2^e$ forme présente-t-elle par rapport à la $1^e$ ? (2 points)
  4. Écrivez la transformation de Lorentz en substituant $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ par $\gamma$ puis démontrez que l’expression obtenue est équivalente à : (2 points)
$\begin{pmatrix}{cosh\theta & -sinh\theta \cr -sinh\theta & cosh\theta}\end{pmatrix}$
  1. Expliquez et montrez comment on peut retrouver la transformation de Galilée à partir de la transformation de Lorentz. (2 points)


Problème 1 (8 points)

On tire un projectile à la vitesse $\beta$’ selon x’ dans un système de référence $\Sigma$’ se déplaçant à la vitesse $\beta_r$ par rapport à un autre système $\Sigma$.

  1. Donnez l’expression permettant d’obtenir la vitesse $\beta$ du projectile dans $\Sigma$ dans les deux cas suivants : a) il se déplace de gauche à droite, b) il se déplace de droite à gauche (faites un schéma). (2 points)
  2. Calculez la vitesse $\beta$ du projectile dans $\Sigma$ pour les vitesses $\beta$’ suivantes : a) $10^{-4}$, b) $10^{-1}$ lorsque $\beta_r$ vaut $\frac{1}{2}$. (4 points)
  3. Quelle erreur relative $\frac{\Delta\beta}{\beta}$ commet-on dans chaque cas si on calcule la vitesse du projectile en utilisant la loi classique d’addition des vitesses ? (2 points)


Problème 2 (8 points)

Trois personnes A, O et B empruntent un train dont la vitesse $\beta$, est voisine de 1. A se place à l’avant, O au milieu et B à l’arrière du train. Une quatrième personne O’ se tient au bord de la voie ferrée. À l’instant même où O passe devant O’, ces deux personnes reçoivent deux signaux lumineux respectivement émis par A et par B.

Le paradoxe du train d'Einstein

  1. Qui a allumé sa lampe le premier ? Justifiez votre réponse. (4 points)
  2. Calculez la différence qui sépare les instants d’émission des signaux par A et par B dans le système $\Sigma$ lié au train puis dans le système $\Sigma$’ lié au sol. (4 points)


Problème 3 (8 points)

Deux systèmes $\Sigma$ et $\Sigma$’ en translation rectiligne uniforme à la vitesse relative $\beta$ ont les diagrammes d’espace-temps suivants :

Réciprocité

Au temps t=0, les origines des deux systèmes coïncident. Les points sur les axes définissent, dans chaque système, un mètre d’espace et un mètre de temps.

  1. Démontrez, à l’aide d’une construction géométrique, que le mètre d’espace d’un système observé depuis l’autre apparaît contracté et que le mètre de temps apparaît dilaté. (4 points)
  2. Donnez la longueur du mètre d’espace et du mètre de temps d’un système lorsqu’ils sont observés depuis l’autre système. (2 points)
  3. Calculez la vitesse relative $\beta$ d’un système par rapport à l’autre. (2 points)

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