Vol dans la direction du vent et perpendiculaire au vent

Calcul des temps de vol pour effectuer un aller-retour
mardi 13 septembre 2005
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a) Un avion se déplace à la vitesse c par rapport à l’air. Il va d’un point A à un point B situés à terre et distants de L/2. Un fort vent souffle de B vers A à la vitesse v.
b) Le même avion fait maintenant le trajet ACA. La distance entre A et C est identique à la distance entre A et B mais la droite AC est perpendiculaire à la droite AB.
Exprimez le temps de parcours de l’avion pour chacun de ces trajets.
c) Deux avions quittent en même temps le point A à la même vitesse c par rapport à l’air. Le premier va de A vers B puis revient en A en volant d’abord avec le vent debout, puis avec le vent arrière (la vitesse de ce dernier est v). L’autre va de A à C puis revient en A en volant toujours avec le vent de côté. Quel est celui qui arrivera le premier en A et quel sera le décalage entre son arrivée et celle du second ? Montrez que si v << c une valeur approchée de ce décalage est donnée par :

$\Delta t=\frac{L}{2c}\frac{v^2}{c^2}$

d) La base aérienne du Pôle sud sert de dépôt de ravitaillement aux stations de recherche réparties sur un cercle de 300 kilomètres de rayon centré sur le Pôle Sud. Chaque lundi, de nombreux avions quittent la base en même temps et volent radialement dans toutes les directions à la même altitude. Chacun d’eux parachute le ravitaillement et le courrier d’une station et revient directement à la base. Un contrôleur muni de son chronomètre se tient sur la colline qui domine la base aérienne. Il constate que les avions ne reviennent pas tous en même temps. Ces écarts l’intriguent car il sait par des mesures précises que :
- la distance entre la base aérienne et chaque station de recherche est la même ;
- tous les avions volent à la même vitesse par rapport à l’air et cette vitesse est de 300 km/h ;
- tous les avions volent en ligne droite de la base à leur station et retour.
Le contrôleur finit par conclure que les écarts doivent être dus aux vents rencontrés à l’altitude à laquelle volent les avions. A l’aide de son chronomètre, il mesure le temps qui s’écoule entre les retours du premier et du dernier avion et il trouve 4 secondes. Quelle est la vitesse du vent à l’altitude où volent les avions ? Le contrôleur peut-il parvenir à certaines conclusions en ce qui concerne sa direction ?

Activité proposée

Utiliser Mathematica pour calculer les temps obtenus sous a) et b) en choisissant des valeurs numériques et pour traiter les points c) et d).


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