Apprendre à schématiser

Comment schématiser des relations entre correspondants
dimanche 6 janvier 2008
par  Bernard Vuilleumier
popularité : 4%

Le courrier électronique est aujourd’hui la plus importante des applications de l’Internet en termes de quantité de données transportées. Pour éviter une saturation du réseau, il serait souhaitable que chaque usager respecte certaines règles.

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Apprendre à schématiser
Représentation linéaire : les nœuds sont alignés.

Tableau des notions et des activités

Objectifs de l’activité
- Représenter différents types de relations entre n éléments.
- Donner une description concise des relations envisagées.
- Comparer une relation n à n à une relation n à 1.
- Dégager des règles de conduite à l’attention des usagers d’une messagerie.

Notions
- schéma
- graphe
- du bon usage d’une messagerie

Durée
- 2 fois 45 minutes

Description

Les n membres d’un groupe de travail souhaitent échanger des informations. Chaque personne dispose des adresses électroniques des autres membres du groupe ainsi que de l’adresse d’un espace commun accessible à tous.

Questions

  1. Combien d’envois faut-il effectuer pour informer tout le groupe ?
  2. Comment faut-il procéder pour apporter une correction à un document qui a déjà été envoyé ?
  3. Quels sont les avantages et inconvénients d’une diffusion :
  • par liste de distribution ?
  • par envoi sur un espace de travail commun ?

Activités
- Construisez une représentation schématique des échanges à l’aide de points et de lignes lorsque :

  • chaque personne envoie des informations à tous les membres du groupe ;
  • chaque personne envoie des informations sur un espace de travail commun.

- Donnez une description concise caractérisant les échanges entre les n membres dans chaque cas.
- Décrivez, de manière non ambiguë, les deux types d’échanges, pour différentes valeur de n.

À l’attention du maître

Réponses aux questions

  1. Pour informer un groupe de n personnes, il faut procéder à n - 1 envois si on ne s’envoie pas l’information à soi-même.
  2. Pour apporter une correction à un document envoyé, il faut l’expédier à nouveau à chacun.
  3. Les avantages et inconvénients respectifs sont les suivants :
  • liste de diffusion : l’information est adressée personnellement à chaque membre. Le trafic réseau est plus « concentré » dans le temps.
  • espace de travail commun : le trafic réseau est « dilué » dans le temps. Les membres doivent prendre l’initiative de consulter la zone de travail.

- Questions et réponses sur le courrier électronique.
- Représentation schématique de différents types d’échanges :

Échanges entre les acteurs à l’aide d’une liste de distribution :

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Apprendre à schématiser
Représentation linéaire : les nœuds sont alignés.

Échanges par liste de distribution représentés d’une autre manière :

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Tout le monde envoie à tout le monde
Représentation circulaire : les nœuds se trouvent sur un cercle.

Mise en évidence du sens des échanges :

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Tout le monde envoie à tout le monde
Mise en évidence des sens de transfert.

Échanges utilisant une zone de travail commune :

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Utilisation d’une espace de travail commun
Représentation linéaire.

Autre représentation des échanges avec espace de travail commun :

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Utilisation d’une espace de travail commun
Représentation circulaire.

- Description non ambiguë des deux types d’échanges

On peut numéroter les nœuds et donner explicitement les connexions entre eux. Dans Mathematica par exemple, cela se noterait ainsi :

GraphPlot[{1 -> 2, 2 -> 1, 3 -> 1, 3 -> 2, 4 -> 1, 4 -> 2, 4 -> 4}, VertexLabeling -> True]

et fournirait la représentation suivante :

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On peut aussi donner les relations à l’aide d’un tableau de nombres (matrice adjacente) : chaque ligne comporte autant d’éléments qu’il y a de nœuds dans le graphe. La présence d’un 1 dans la première ligne signale que l’élément dont le numéro correspond à la position de ce 1 dans cette ligne est lié au premier élément. Pour le graphe ci-dessus, le tableau aurait l’allure suivante :

$\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

N. B. Les différentes représentations - circulaire ou linéaire - d’un type d’échange doivent donner lieu à la même description ! Un graphe est défini comme un ensemble de sommets ou noeuds et de côtés, un côté étant défini par une paire de sommets. La représentation des graphes revêt diverses formes selon qu’ils sont destinés à des humains ou à des machines. Les ordinateurs « digèrent » mieux les graphes lorsqu’ils sont représentés par des données structurées - listes ou tableaux de nombres, alors que les humains préfèrent représenter ces structures comme une collection de points liés par des lignes, ce qui implique l’ajout d’une information géométrique au graphe.

Remarque

Si vous disposez d’ordinateurs, utilisez le fichier joint « Graphes » [1] avec les élèves pour générer des figures comportant un nombre d’acteurs n différent (2 ≤ n ≤ 20). Si ce n’est pas le cas ou si vous préférez mettre les élèves en contact avec la matière, prévoyez des plaques de sagex, des épingles et du fil… et un peu plus de temps. Et limitez-vous à la représentation circulaire !


[1N. B. Les figures de cet article ne sont que des images. Pour disposer de l’interactivité :

  1. Installez MathematicaPlayer sur les postes de travail.
  2. Téléchargez le fichier joint « Graphes » puis ouvrez-le avec MathematicaPlayer.

Documents joints

Graphes

Commentaires  forum ferme

Logo de Pascal Rebetez
vendredi 13 juin 2008 à 16h07 - par  Pascal Rebetez

Riche exploitation sur le plan de la modélisation et des mathématiques, d’un sujet on ne peut plus actuel. Les remarques à l’attention du maître sont magnifiquement illustrées, documentées et associées à de nombreux liens et références. Impressionnant !

Pascal Rebetez