La machine d’Atwood

Chute libre. Relation fondamentale de la dynamique. Masse inerte et masse pesante.
samedi 13 janvier 2007
par  Bernard Vuilleumier
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La chute libre est difficile à étudier car les temps de chute sont très brefs pour les hauteurs sur lesquelles le frottement est négligeable. Galilée est le premier à avoir réussi à ralentir la chute libre sans la « dénaturer » en utilisant un plan incliné. La machine d’Atwood permet, mieux encore que le plan incliné, de diminuer l’accélération de la chute des corps jusqu’à de très faibles valeurs.
La machine d'Atwood
Utiliser le modèle (nécessite Wolfram CDF Player)

Galilée a montré que dans le « vide », tous les corps tombent selon la même loi du mouvement, soit avec la même accélération (mouvement uniformément accéléré). En effet, si on examine le principe fondamental de la dynamique qui dit que la force résultante $\vec F$ exercée sur une masse m est égale au produit de cette masse m par son accélération $\vec a$ :

$\vec F=m\vec a$

et que l’on considère que la force résultante qui agit sur un corps qui tombe en chute libre n’est rien d’autre que son propre poids $\vec P$ (poids = force), on peut écrire :

$\vec P=m\vec g$

et on a [1] :

$m\vec g=m\vec a$

d’où, pour tout m :

$\vec g=\vec a$

La machine d’Atwood, basée sur le principe de l’ascenseur à contre-poids, comporte deux masses M et m suspendues à chaque extrémité d’un fil qui passe sur une poulie.

Variante de la machine d'Atwood

La grande masse M est soumise à son poids $M\vec g$ et à la tension $\vec T$ du fil. La somme de ces forces lui confèrent une accélération $\vec a$. En composantes selon un axe vertical orienté vers le bas on obtient :

$Mg-T=Ma$

La petite masse m est soumise à son poids $m\vec g$ et, si l’on néglige la masse de la poulie et celle du fil, à une même tension $\vec T$. Elle acquiert une accélération $\vec a$ de même grandeur que celle de M, mais de sens opposé. En composantes selon l’axe, on obtient :

$mg-T=-ma$

En éliminant T des deux équations précédentes, on obtient :

$a=\frac{M-m}{M+m}g$

Le coefficient sans dimension $\frac{M-m}{M+m}$ peut être ajusté expérimentalement de façon à obtenir des accélérations a beaucoup plus petites que g.

Expérience

  1. Chronométrez « à la main » les durées de chute pour n hauteurs de chute variant par pas $\Delta h$
  2. Représentez graphiquement l’espace parcouru en fonction du temps t élevé au carré.
  3. Déterminez graphiquement l’accélération du système.
  4. Comparez le résultat expérimental à la valeur calculée.

Questions

  1. Énoncez la loi du mouvement pour un corps en chute libre.
  2. Dessinez les forces qui agissent sur les masses de la machine d’Atwood.
  3. Calculez la tension du fil pour chacune des mesures.
  4. Exprimez l’accélération angulaire $\alpha$ de la poulie de rayon R lorsque :
  • on néglige la masse de la poulie et celle du fil
  • on tient compte de la masse de la poulie
  • on tient compte de la masse de la poulie et de celle du fil.

Simulations (from The Wolfram Demontrations Project)
- Atwood’s Machine

Comment utiliser ces simulations ?



[1On admet ici le principe d’équivalence faible qui postule que la masse pesante est égale à la masse inerte, principe vérifié expérimentalement à $3 \times 10 ^-11$ près, voir P. G. Roll, R. Krotkov et R. H. Dicke, Annals of Physics, 26, 442, (1964)